Номер 210, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 6 см и 4 см, а боковое ребро — $ \sqrt{10} $ см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей её оснований ($S_{осн1}$ и $S_{осн2}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

1. Нахождение площадей оснований

В основаниях правильной усечённой треугольной пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нижнего основания со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_{осн1} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Для верхнего основания со стороной $a_2 = 4$ см:

$S_{осн2} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных трапеций. Чтобы найти их площадь, нам нужна их высота, которая называется апофемой усечённой пирамиды ($l$).

Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 см и боковыми сторонами (рёбрами пирамиды) по $\sqrt{10}$ см. Проведём в этой трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота, часть большего основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Длина катета, лежащего на большем основании, равна полуразности длин оснований трапеции:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдём апофему $l$, которая является вторым катетом этого треугольника, а боковое ребро – гипотенузой:

$l^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2$

$l^2 + 1 = 10$

$l^2 = 9$

$l = 3$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) равна:

$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l = \frac{6 + 4}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см².

Так как таких граней три, площадь всей боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 15 = 45$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Складываем площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 45 = (13\sqrt{3} + 45)$ см².

Ответ: $13\sqrt{3} + 45$ см².