Номер 212, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 18 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите высоту усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основаниями являются квадраты, а боковые грани — равнобокие трапеции.

Обозначим сторону большего основания как $a_1$, а сторону меньшего основания как $a_2$. По условию задачи:
$a_1 = 18$ см
$a_2 = 12$ см

Угол, который боковая грань образует с плоскостью большего основания, является двугранным углом. Для его нахождения построим линейный угол. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней) противоположных боковых граней. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию.

Основаниями этой трапеции будут отрезки, соединяющие середины противоположных сторон квадратов-оснований, то есть их длины равны сторонам оснований пирамиды: 18 см и 12 см. Высота этой трапеции является высотой усечённой пирамиды $h$. Боковыми сторонами этой трапеции являются апофемы боковых граней пирамиды. Угол при большем основании этой трапеции и есть заданный угол 30°.

Рассмотрим полученную равнобокую трапецию. Проведём из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. Эта высота разделит большее основание на три отрезка. Центральный отрезок будет равен меньшему основанию (12 см), а два боковых отрезка будут равны. Найдём длину одного из этих боковых отрезков, который является катетом в образовавшемся прямоугольном треугольнике:
$k = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет равен 3 см (это отрезок $k$, прилежащий к углу 30°);
• другой катет — это высота усечённой пирамиды $h$ (противолежащий углу 30°);
• острый угол равен 30°.

Соотношение между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{k}$

Выразим отсюда высоту $h$:
$h = k \cdot \tan(30^\circ)$
Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.