Номер 4, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SBD$.

Рис. 98

Для построения точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SBD$ применим метод вспомогательной плоскости. Идея метода состоит в том, чтобы провести через прямую $MN$ плоскость, найти её линию пересечения с плоскостью $SBD$, а затем найти точку пересечения этой линии с исходной прямой $MN$.

1. Построение вспомогательной плоскости

Прямая $MN$ должна лежать во вспомогательной плоскости. Поскольку точка $M$ принадлежит грани $SBC$, а точка $N$ — грани $SCD$, удобно построить плоскость, проходящую через вершину $S$ и содержащую прямую $MN$. Для этого найдем "следы" точек $M$ и $N$ на плоскости основания $ABCD$ при проекции из центра $S$.

Проведем прямую через вершину $S$ и точку $M$. Так как обе эти точки лежат в плоскости грани $SBC$, вся прямая $SM$ лежит в этой плоскости. Она пересечет ребро $BC$, лежащее в той же плоскости. Обозначим точку их пересечения $M_1$: $M_1 = SM \cap BC$.

Аналогично, проведем прямую через $S$ и $N$. Она лежит в плоскости грани $SCD$ и пересечет ребро $CD$ в точке $N_1$: $N_1 = SN \cap CD$.

Точки $S$, $M_1$ и $N_1$ определяют плоскость $(SM_1N_1)$. Так как $M$ лежит на прямой $SM_1$, а $N$ — на прямой $SN_1$, то вся прямая $MN$ лежит в этой плоскости. Таким образом, $(SM_1N_1)$ — наша вспомогательная плоскость.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей

Теперь найдем линию, по которой вспомогательная плоскость $(SM_1N_1)$ пересекается с данной плоскостью $(SBD)$. Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

Первая общая точка — это вершина $S$, так как она принадлежит обеим плоскостям по построению.

Вторую общую точку найдем как пересечение следов этих плоскостей на плоскости основания $ABCD$. След плоскости $(SM_1N_1)$ на плоскости основания — это прямая $M_1N_1$. След плоскости $(SBD)$ — это прямая $BD$. Найдем точку пересечения этих прямых: $K = M_1N_1 \cap BD$. Точка $K$ принадлежит обеим плоскостям, так как лежит на прямых, принадлежащих этим плоскостям.

Следовательно, прямая $SK$ является линией пересечения плоскостей $(SM_1N_1)$ и $(SBD)$.

3. Нахождение искомой точки

Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(SBD)$. По определению, точка $P$ должна лежать на прямой $MN$. С другой стороны, так как прямая $MN$ лежит в плоскости $(SM_1N_1)$, ее точка пересечения с плоскостью $(SBD)$ обязана лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $SK$.

Таким образом, искомая точка $P$ является точкой пересечения двух прямых: $MN$ и $SK$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(SM_1N_1)$ и, в общем случае, пересекаются. Построив их пересечение, мы найдем точку $P$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как пересечение прямой $MN$ и прямой $SK$, где $K$ — точка пересечения диагонали основания $BD$ с прямой $M_1N_1$, а точки $M_1$ и $N_1$ являются точками пересечения прямых $SM$ и $SN$ с ребрами основания $BC$ и $CD$ соответственно.