Страница 93 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы

Вариант 1

Контрольная работа № 1

Тема. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Начальные представления о многогранниках

1. На рисунке 97 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите прямую пересечения плоскостей $AB_1C_1$ и $ABB_1$.

Рис. 97

Для нахождения прямой пересечения двух плоскостей необходимо найти две различные точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

В данной задаче мы ищем линию пересечения плоскостей $AB_1C_1$ и $ABB_1$. Плоскость $ABB_1$ совпадает с плоскостью грани куба $ABB_1A_1$.

1. Рассмотрим точку $A$.
- Точка $A$ принадлежит плоскости $AB_1C_1$ по определению (она одна из трех точек, задающих плоскость).
- Точка $A$ принадлежит плоскости $ABB_1$, так как является вершиной грани $ABB_1A_1$.
Следовательно, точка $A$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Рассмотрим точку $B_1$.
- Точка $B_1$ принадлежит плоскости $AB_1C_1$ по определению.
- Точка $B_1$ принадлежит плоскости $ABB_1$, так как является вершиной грани $ABB_1A_1$.
Следовательно, точка $B_1$ также является общей точкой для обеих плоскостей.

Так как мы нашли две общие точки $A$ и $B_1$, то прямая, проходящая через них, является прямой пересечения плоскостей $AB_1C_1$ и $ABB_1$.

Ответ: $AB_1$.

2. Даны точки A, B и C такие, что $AB = 2 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $AC = 3 \text{ см}$. Сколько существует плоскостей, содержащих точки A, B и C? Ответ обоснуйте.

Чтобы определить, сколько плоскостей проходит через три заданные точки A, B и C, необходимо сначала выяснить их взаимное расположение. Согласно основной аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если же точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Проверим, лежат ли точки A, B и C на одной прямой. Три точки лежат на одной прямой, если расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. В нашем случае даны расстояния: $AB = 2$ см, $AC = 3$ см, $BC = 5$ см.

Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего отрезка:
$AB + AC = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Полученная сумма в точности равна длине отрезка $BC$:
$AB + AC = BC$
$5 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Это равенство означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причём точка A находится между точками B и C.

Поскольку все три точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечное множество различных плоскостей (подобно страницам книги, вращающимся вокруг переплёта-прямой).

Ответ: Существует бесконечное множество плоскостей, содержащих точки A, B и C, так как эти точки лежат на одной прямой.

3. Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. На прямой $AB$ отметили точку $D$, на прямой $BC$ — точку $E$, а на прямой $DE$ — точку $M$. Докажите, что точки $A$, $C$ и $M$ лежат в одной плоскости.

Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, то согласно аксиоме стереометрии через эти три точки проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$.

Дано, что точка D лежит на прямой AB ($D \in AB$). Так как точки A и B принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha, B \in \alpha$), то и вся прямая AB лежит в этой плоскости ($AB \subset \alpha$). Следовательно, точка D также принадлежит плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

Аналогично, дано, что точка E лежит на прямой BC ($E \in BC$). Так как точки B и C принадлежат плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha, C \in \alpha$), то и вся прямая BC лежит в этой плоскости ($BC \subset \alpha$). Следовательно, точка E также принадлежит плоскости $\alpha$ ($E \in \alpha$).

Теперь рассмотрим прямую DE. Мы доказали, что обе точки, D и E, лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости), вся прямая DE также лежит в плоскости $\alpha$ ($DE \subset \alpha$).

По условию, точка M лежит на прямой DE ($M \in DE$). Так как вся прямая DE лежит в плоскости $\alpha$, то и точка M, принадлежащая этой прямой, тоже лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Таким образом, мы установили, что точки A, C (которые изначально определяют плоскость $\alpha$) и точка M лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A, C и M лежат в одной плоскости.

4. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 98). Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SBD$.

Рис. 98

Для построения точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SBD$ применим метод вспомогательной плоскости. Идея метода состоит в том, чтобы провести через прямую $MN$ плоскость, найти её линию пересечения с плоскостью $SBD$, а затем найти точку пересечения этой линии с исходной прямой $MN$.

1. Построение вспомогательной плоскости

Прямая $MN$ должна лежать во вспомогательной плоскости. Поскольку точка $M$ принадлежит грани $SBC$, а точка $N$ — грани $SCD$, удобно построить плоскость, проходящую через вершину $S$ и содержащую прямую $MN$. Для этого найдем "следы" точек $M$ и $N$ на плоскости основания $ABCD$ при проекции из центра $S$.

Проведем прямую через вершину $S$ и точку $M$. Так как обе эти точки лежат в плоскости грани $SBC$, вся прямая $SM$ лежит в этой плоскости. Она пересечет ребро $BC$, лежащее в той же плоскости. Обозначим точку их пересечения $M_1$: $M_1 = SM \cap BC$.

Аналогично, проведем прямую через $S$ и $N$. Она лежит в плоскости грани $SCD$ и пересечет ребро $CD$ в точке $N_1$: $N_1 = SN \cap CD$.

Точки $S$, $M_1$ и $N_1$ определяют плоскость $(SM_1N_1)$. Так как $M$ лежит на прямой $SM_1$, а $N$ — на прямой $SN_1$, то вся прямая $MN$ лежит в этой плоскости. Таким образом, $(SM_1N_1)$ — наша вспомогательная плоскость.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей

Теперь найдем линию, по которой вспомогательная плоскость $(SM_1N_1)$ пересекается с данной плоскостью $(SBD)$. Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

Первая общая точка — это вершина $S$, так как она принадлежит обеим плоскостям по построению.

Вторую общую точку найдем как пересечение следов этих плоскостей на плоскости основания $ABCD$. След плоскости $(SM_1N_1)$ на плоскости основания — это прямая $M_1N_1$. След плоскости $(SBD)$ — это прямая $BD$. Найдем точку пересечения этих прямых: $K = M_1N_1 \cap BD$. Точка $K$ принадлежит обеим плоскостям, так как лежит на прямых, принадлежащих этим плоскостям.

Следовательно, прямая $SK$ является линией пересечения плоскостей $(SM_1N_1)$ и $(SBD)$.

3. Нахождение искомой точки

Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(SBD)$. По определению, точка $P$ должна лежать на прямой $MN$. С другой стороны, так как прямая $MN$ лежит в плоскости $(SM_1N_1)$, ее точка пересечения с плоскостью $(SBD)$ обязана лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $SK$.

Таким образом, искомая точка $P$ является точкой пересечения двух прямых: $MN$ и $SK$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(SM_1N_1)$ и, в общем случае, пересекаются. Построив их пересечение, мы найдем точку $P$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как пересечение прямой $MN$ и прямой $SK$, где $K$ — точка пересечения диагонали основания $BD$ с прямой $M_1N_1$, а точки $M_1$ и $N_1$ являются точками пересечения прямых $SM$ и $SN$ с ребрами основания $BC$ и $CD$ соответственно.

5. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно рёбрам $SB$ и $SC$ тетраэдра $SABC$, а точка $N$ — грани $ABC$ (рис. 99), причём прямые $MK$ и $BC$ не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 99

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Построение будет состоять из нескольких шагов.

1. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$

След – это прямая пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для построения прямой нам нужны две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Первая точка – $N$, так как по условию она лежит в грани $ABC$ и принадлежит секущей плоскости.

Вторую точку найдем как точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с прямой, лежащей в плоскости основания. Рассмотрим прямые $MK$ и $BC$. Обе они лежат в плоскости грани $(SBC)$. По условию $MK$ и $BC$ не параллельны, значит, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$.

$P = MK \cap BC$

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MK$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Поскольку $P$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $P$ – это вторая искомая точка.

Прямая $NP$ является следом секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

2. Построение вершин сечения на ребрах основания

След $NP$ лежит в плоскости $(ABC)$ и пересекает стороны основания $ABC$. Найдем точки пересечения прямой $NP$ с ребрами $AB$ и $AC$.

Пусть $Q$ – точка пересечения прямой $NP$ и ребра $AB$: $Q = NP \cap AB$.

Пусть $R$ – точка пересечения прямой $NP$ и ребра $AC$: $R = NP \cap AC$.

Точки $Q$ и $R$ являются вершинами искомого сечения, так как они принадлежат ребрам тетраэдра и секущей плоскости (поскольку лежат на следе $NP$).

3. Построение искомого сечения

Вершинами сечения являются точки $M, K, R, Q$. Соединяя их последовательно, получаем стороны сечения, которые являются отрезками пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра: $MK$ в грани $(SBC)$, $KR$ в грани $(SAC)$, $RQ$ в грани $(ABC)$ и $QM$ в грани $(SAB)$. Полученный четырехугольник $MKRQ$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение – это четырехугольник $MKRQ$. Для его построения необходимо: 1) найти точку $P$ как пересечение прямых $MK$ и $BC$; 2) провести прямую $NP$; 3) найти точки $Q$ и $R$ как пересечение прямой $NP$ с ребрами $AB$ и $AC$ соответственно; 4) соединить точки $M, K, R, Q$.