Страница 99 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Аксиомы стереометрии и следствия из них.

Начальные представления о многогранниках

1. На рисунке 104 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите прямую пересечения плоскостей $ACC_1$ и $DCC_1$.

Рис. 104

Для того чтобы найти прямую пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим этим плоскостям. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

Рассмотрим данные плоскости: плоскость $(ACC_1)$ и плоскость $(DCC_1)$.

1. Найдем первую общую точку. Из названия плоскостей видно, что точка $C$ принадлежит как плоскости $(ACC_1)$, так и плоскости $(DCC_1)$. Следовательно, $C$ — первая общая точка.

2. Найдем вторую общую точку. Аналогично, из названия плоскостей видно, что точка $C_1$ принадлежит как плоскости $(ACC_1)$, так и плоскости $(DCC_1)$. Следовательно, $C_1$ — вторая общая точка.

Поскольку обе плоскости проходят через точки $C$ и $C_1$, их линией пересечения является прямая, проходящая через эти две точки. Эта прямая является ребром куба $CC_1$.

Ответ: $CC_1$.

2. Даны точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см}$. Сколько существует плоскостей, содержащих точки $A$, $B$ и $C$? Ответ обоснуйте.

Для определения количества плоскостей, содержащих точки A, B и C, необходимо установить, лежат ли эти три точки на одной прямой.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если же точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Проверим, лежат ли точки A, B и C на одной прямой. Для этого необходимо проверить, выполняется ли для них неравенство треугольника. Точки не лежат на одной прямой, если сумма длин любых двух отрезков, соединяющих эти точки, строго больше длины третьего отрезка.

Даны длины отрезков: $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.

Выполним проверку:
1. $AB + BC > AC \implies 4 + 6 > 7 \implies 10 > 7$. Неравенство выполняется.
2. $AB + AC > BC \implies 4 + 7 > 6 \implies 11 > 6$. Неравенство выполняется.
3. $BC + AC > AB \implies 6 + 7 > 4 \implies 13 > 4$. Неравенство выполняется.

Так как все три неравенства треугольника выполняются, точки A, B и C не лежат на одной прямой, а образуют вершины треугольника.

Следовательно, на основании вышеупомянутой аксиомы, через точки A, B и C проходит ровно одна плоскость.

Ответ: Существует только одна плоскость, содержащая точки A, B и C.

3. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. На прямой $a$ отметили точку $A$, на прямой $b$ — точку $B$, а на прямой $AB$ — точку $C$. Докажите, что прямые $a$, $b$ и точка $C$ лежат в одной плоскости.

Для решения этой задачи воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Это означает, что обе прямые, $a$ и $b$, полностью лежат в плоскости $\alpha$ (математически это записывается как $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. По условию, точка $A$ отмечена на прямой $a$. Так как вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то любая ее точка, включая точку $A$, также принадлежит этой плоскости ($A \in \alpha$).

3. Аналогично, точка $B$ отмечена на прямой $b$. Так как вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $B$ также принадлежит этой плоскости ($B \in \alpha$).

4. Теперь мы знаем, что две различные точки, $A$ и $B$, лежат в плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в той же плоскости. Следовательно, вся прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

5. По условию, точка $C$ лежит на прямой $AB$ ($C \in AB$). Поскольку вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, и точка $C$ также лежит в этой же плоскости. Следовательно, прямые $a$, $b$ и точка $C$ лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $a$, $b$ и точка $C$ лежат в одной плоскости.

4. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $SAB$ и $SBC$ пирамиды $SABCD$ (рис. 105). Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SAC$.

Рис. 105

Для построения точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SAC$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. В качестве такой плоскости выберем плоскость, проходящую через точки $B$, $M$ и $N$, и обозначим ее $(BMN)$. Искомая точка пересечения $P$ является общей точкой для прямой $MN$ и плоскости $(SAC)$. Так как прямая $MN$ по построению лежит в плоскости $(BMN)$, то искомая точка $P$ должна принадлежать линии пересечения плоскостей $(BMN)$ и $(SAC)$.

Чтобы найти эту линию пересечения, найдем две общие точки для плоскостей $(BMN)$ и $(SAC)$.

1. Точка $M$ лежит в грани $(SAB)$, следовательно, вся прямая $BM$ лежит в плоскости $(SAB)$. Прямая $SA$ также лежит в этой плоскости. Найдем точку пересечения прямых $BM$ и $SA$. Обозначим эту точку $M_1$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $SA$, она принадлежит плоскости $(SAC)$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $BM$, она принадлежит плоскости $(BMN)$. Следовательно, $M_1$ — одна из точек на линии пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(BMN)$.

2. Аналогично, точка $N$ лежит в грани $(SBC)$, следовательно, вся прямая $BN$ лежит в плоскости $(SBC)$. Прямая $SC$ также лежит в этой плоскости. Найдем точку пересечения прямых $BN$ и $SC$. Обозначим эту точку $N_1$. Так как точка $N_1$ лежит на прямой $SC$, она принадлежит плоскости $(SAC)$. Так как точка $N_1$ лежит на прямой $BN$, она принадлежит плоскости $(BMN)$. Следовательно, $N_1$ — вторая точка на линии пересечения этих плоскостей.

Таким образом, прямая $M_1N_1$ является линией пересечения плоскости $(SAC)$ и вспомогательной плоскости $(BMN)$.

Искомая точка $P$ должна принадлежать одновременно прямой $MN$ и плоскости $(SAC)$. Мы установили, что она также должна лежать на прямой $M_1N_1$. Прямые $MN$ и $M_1N_1$ обе лежат в одной плоскости $(BMN)$, поэтому мы можем найти их точку пересечения (в предположении, что они не параллельны). Эта точка и будет искомой точкой $P$.

Итак, последовательность построения:
1) Строим прямую $BM$ и находим ее точку пересечения $M_1$ с прямой $SA$.
2) Строим прямую $BN$ и находим ее точку пересечения $N_1$ с прямой $SC$.
3) Проводим прямую через точки $M_1$ и $N_1$.
4) Проводим прямую через точки $M$ и $N$.
5) Точка пересечения $P$ прямых $MN$ и $M_1N_1$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(SAC)$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$, где $M_1 = BM \cap SA$ и $N_1 = BN \cap SC$.

5. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно рёбрам $AB$ и $AC$ призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, а точка $K$ — грани $BB_1 C_1 C$ (рис. 106), причём прямые $MN$ и $BC$ не параллельны. Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 106

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $(MNK)$ используется метод следов. Суть метода заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

Алгоритм построения:

1. Построение следа на плоскости основания $ABC$.

   Точки $M$ и $N$ принадлежат секущей плоскости $(MNK)$ и одновременно плоскости основания $(ABC)$, так как $M \in AB$ и $N \in AC$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения этих плоскостей. Отрезок $MN$ — это сторона искомого сечения.

2. Нахождение вспомогательной точки $P$.

   Рассмотрим прямые $MN$ и $BC$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$. По условию задачи они не параллельны ($MN \not\parallel BC$), значит, они пересекаются. Построим точку их пересечения $P$.

   $P = MN \cap BC$

   Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MN$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$.

3. Построение следа на плоскости грани $BB_1C_1C$.

   Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости грани $(BB_1C_1C)$: точка $K$ (дана по условию) и точка $P$ (построена на предыдущем шаге). Прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(BB_1C_1C)$. Проведем прямую $PK$.

4. Нахождение вершин сечения на боковых ребрах.

   Прямая $PK$ пересекает боковые ребра призмы, лежащие в грани $BB_1C_1C$.

   • Точку пересечения прямой $PK$ с ребром $BB_1$ обозначим $L$. ($L = PK \cap BB_1$)
   • Точку пересечения прямой $PK$ с ребром $CC_1$ обозначим $F$. ($F = PK \cap CC_1$)

   Точки $L$ и $F$ — это новые вершины сечения. Отрезок $LF$ — сторона сечения, лежащая на грани $BB_1C_1C$.

5. Завершение построения многоугольника сечения.

   К настоящему моменту найдены все вершины сечения: $M, N, F, L$. Для получения замкнутого многоугольника соединим последовательно те вершины, которые лежат в одной грани:

   • $M$ и $N$ в грани $ABC$ (отрезок $MN$).
   • $L$ и $F$ в грани $BB_1C_1C$ (отрезок $LF$).
   • $M$ и $L$ в грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $ML$.
   • $N$ и $F$ в грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $NF$.

   В результате построен четырехугольник $MNFL$, который является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $MNFL$, построенный согласно приведенному алгоритму.