Номер 5, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно рёбрам $AB$ и $AC$ призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, а точка $K$ — грани $BB_1 C_1 C$ (рис. 106), причём прямые $MN$ и $BC$ не параллельны. Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 106

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $(MNK)$ используется метод следов. Суть метода заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

Алгоритм построения:

1. Построение следа на плоскости основания $ABC$.

   Точки $M$ и $N$ принадлежат секущей плоскости $(MNK)$ и одновременно плоскости основания $(ABC)$, так как $M \in AB$ и $N \in AC$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения этих плоскостей. Отрезок $MN$ — это сторона искомого сечения.

2. Нахождение вспомогательной точки $P$.

   Рассмотрим прямые $MN$ и $BC$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$. По условию задачи они не параллельны ($MN \not\parallel BC$), значит, они пересекаются. Построим точку их пересечения $P$.

   $P = MN \cap BC$

   Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MN$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$.

3. Построение следа на плоскости грани $BB_1C_1C$.

   Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости грани $(BB_1C_1C)$: точка $K$ (дана по условию) и точка $P$ (построена на предыдущем шаге). Прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(BB_1C_1C)$. Проведем прямую $PK$.

4. Нахождение вершин сечения на боковых ребрах.

   Прямая $PK$ пересекает боковые ребра призмы, лежащие в грани $BB_1C_1C$.

   • Точку пересечения прямой $PK$ с ребром $BB_1$ обозначим $L$. ($L = PK \cap BB_1$)
   • Точку пересечения прямой $PK$ с ребром $CC_1$ обозначим $F$. ($F = PK \cap CC_1$)

   Точки $L$ и $F$ — это новые вершины сечения. Отрезок $LF$ — сторона сечения, лежащая на грани $BB_1C_1C$.

5. Завершение построения многоугольника сечения.

   К настоящему моменту найдены все вершины сечения: $M, N, F, L$. Для получения замкнутого многоугольника соединим последовательно те вершины, которые лежат в одной грани:

   • $M$ и $N$ в грани $ABC$ (отрезок $MN$).
   • $L$ и $F$ в грани $BB_1C_1C$ (отрезок $LF$).
   • $M$ и $L$ в грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $ML$.
   • $N$ и $F$ в грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $NF$.

   В результате построен четырехугольник $MNFL$, который является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $MNFL$, построенный согласно приведенному алгоритму.