Номер 5, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Боковые грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см, а расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно 17 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$.

По условию, боковые грани DAB и DAC перпендикулярны плоскости основания ABC. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней DAB и DAC является ребро DA. Следовательно, ребро DA перпендикулярно плоскости основания ABC ($DA \perp (ABC)$), то есть DA является высотой пирамиды.

Так как ребро $DA \perp (ABC)$, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp AC$ и $DA \perp AB$. Это означает, что треугольники $\triangle DAC$ и $\triangle DAB$ являются прямоугольными ($\angle DAC = 90^\circ$ и $\angle DAB = 90^\circ$).

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC, поскольку по условию $\angle ACB = 90^{\circ}$. Длины его катетов $AC = 8 \text{ см}$ и $BC = 6 \text{ см}$. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Расстояние от точки D до прямой BC по определению — это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую BC. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр DA к плоскости (ABC) и наклонная DC к этой плоскости. AC является проекцией наклонной DC на плоскость (ABC). Прямая BC, лежащая в плоскости (ABC), перпендикулярна проекции AC (так как $\angle ACB = 90^{\circ}$). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая BC перпендикулярна и самой наклонной DC.

Это означает, что $DC \perp BC$, и треугольник $\triangle DBC$ является прямоугольным. Длина отрезка DC и есть расстояние от точки D до прямой BC. По условию, это расстояние равно $17 \text{ см}$, следовательно, $DC = 17 \text{ см}$.

Теперь, зная длины гипотенузы DC и катета AC в прямоугольном треугольнике $\triangle DAC$, мы можем найти длину второго катета DA (высоты пирамиды) по теореме Пифагора: $DA = \sqrt{DC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить площади всех боковых граней.

Площадь грани $\triangle DAC$: $S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60 \text{ см}^2$.

Площадь грани $\triangle DAB$: $S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 \text{ см}^2$.

Площадь грани $\triangle DBC$: $S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 17 = 51 \text{ см}^2$.

Суммируем площади граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DBC} = 60 + 75 + 51 = 186 \text{ см}^2$.

Ответ: $186 \text{ см}^2$.