Номер 1, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Сторона правильного треугольника равна $6\sqrt{3}$ см. Точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $M$ на плоскость треугольника является точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника, если расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника равно $6\sqrt{2}$ см.

1. Пусть дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 6\sqrt{3}$ см. Точка $M$ находится в пространстве, а ее проекция на плоскость треугольника — точка $O$, которая лежит внутри треугольника.

По условию, точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника. Это означает, что ее проекция, точка $O$, равноудалена от этих же прямых в плоскости треугольника. Точка внутри треугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной окружности (инцентром). Таким образом, $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $MO$. По условию, $MO = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны треугольника (например, до стороны $AC$) — это длина перпендикуляра $MK$, где $K$ — точка на стороне $AC$.

Отрезок $OK$ является перпендикуляром, опущенным из центра вписанной окружности $O$ на сторону $AC$. Следовательно, длина отрезка $OK$ равна радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$, в том числе и прямой $OK$. Следовательно, треугольник $MOK$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle MOK$.

По теореме Пифагора, $MK^2 = MO^2 + OK^2$. Чтобы найти $MK$, нам нужно сначала вычислить $OK = r$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$Подставим значение стороны $a = 6\sqrt{3}$ см:$OK = r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$ см.

Теперь найдем искомое расстояние $MK$:$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{36 \cdot 2 + 9} = \sqrt{72 + 9} = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.