Номер 4, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = AC = a$ и углом при вершине $\angle BAC = \alpha$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Обозначим эту точку $O$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды, а радиус вписанной окружности — $r$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ и площадь основания $S_{осн}$ связаны соотношением $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\beta)}$.

Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и двугранным углом $\beta$ соотношением $H = r \cdot \tan(\beta)$.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Сначала найдем площадь основания пирамиды — равнобедренного треугольника $ABC$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.

Теперь, используя известную формулу, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)}{\cos(\beta)} = \frac{a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$.

2) высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды $H$, нам необходимо сначала найти радиус $r$ вписанной в основание окружности. Для этого рассмотрим треугольник в основании $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AD$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой, поэтому $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $ABD$ находим половину основания $BC$:

$BD = AB \cdot \sin(\angle BAD) = a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Углы при основании треугольника $ABC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на пересечении биссектрис. Так как $AD$ — биссектриса, точка $O$ лежит на $AD$. Проведем биссектрису угла $B$, которая пересечет $AD$ в точке $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBD$. Угол $\angle OBD$ равен половине угла $\angle ABC$:

$\angle OBD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Катет $OD$ в этом треугольнике является радиусом вписанной окружности, $OD = r$.

Из треугольника $OBD$ имеем:

$\tan(\angle OBD) = \frac{OD}{BD} \Rightarrow r = OD = BD \cdot \tan(\angle OBD)$.

$r = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\beta) = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \tan(\beta)$.

Ответ: $H = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \tan(\beta)$.