gdz.top
Номер 3, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости - номер 3, страница 96.
№2
№3 (с. 96)
Условие. №3 (с. 96)
3. Угол между плоскостями треугольников $ABM$ и $ABK$ равен $30^\circ$, $AM = BM = 20$ см, $AK = BK = 2\sqrt{67}$ см, $AB = 32$ см. Найдите отрезок $MK$.
Решение. №3 (с. 96)
Решение 2. №3 (с. 96)
Поскольку треугольники $ABM$ и $ABK$ являются равнобедренными с общим основанием $AB$, их высоты, проведенные из вершин $M$ и $K$ к основанию $AB$, пересекают $AB$ в одной и той же точке — его середине. Обозначим эту точку как $H$.
Таким образом, $MH$ является высотой в треугольнике $ABM$, а $KH$ — высотой в треугольнике $ABK$. Точка $H$ — середина $AB$, поэтому $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$. По теореме Пифагора найдем длину катета $MH$:
$MH^2 = AM^2 - AH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$MH = \sqrt{144} = 12$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKH$. По теореме Пифагора найдем длину катета $KH$:
$KH^2 = AK^2 - AH^2 = (2\sqrt{67})^2 - 16^2 = 4 \cdot 67 - 256 = 268 - 256 = 12$
$KH = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.
Угол между плоскостями $(ABM)$ и $(ABK)$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Так как отрезки $MH$ и $KH$ перпендикулярны ребру $AB$ и лежат в соответствующих плоскостях, угол между ними, $\angle MHK$, является линейным углом данного двугранного угла. По условию, $\angle MHK = 30^\circ$.
Теперь мы можем найти длину отрезка $MK$, рассмотрев треугольник $MHK$. Применим к нему теорему косинусов:
$MK^2 = MH^2 + KH^2 - 2 \cdot MH \cdot KH \cdot \cos(\angle MHK)$
Подставим известные значения:
$MK^2 = 12^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
$MK^2 = 144 + 12 - 48\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$MK^2 = 156 - 24 \cdot 3$
$MK^2 = 156 - 72$
$MK^2 = 84$
$MK = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.
Ответ: $2\sqrt{21}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 96 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №3 (с. 96), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.