Номер 5, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Точка S равноудалена от сторон трапеции ABCD $(BC \parallel AD)$ и находится на расстоянии $\sqrt{7}$ см от её пло-скости. Найдите расстояние от точки D до сторон тра-пеции, если $CD = 12$ см, $\angle ADC = 45^\circ$.

Рассмотрим расстояния от точки D до сторон трапеции ABCD.

1. Расстояние от точки D до стороны AD равно 0, так как точка D принадлежит стороне AD.

2. Расстояние от точки D до стороны CD равно 0, так как точка D принадлежит стороне CD.

3. Расстояние от точки D до стороны BC. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), расстояние от любой точки на основании AD до прямой BC равно высоте трапеции $h$. Опустим высоту $CH$ из вершины C на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол $\angle CHD = 90^\circ$, гипотенуза $CD = 12$ см, а угол $\angle HDC = \angle ADC = 45^\circ$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $45^\circ$.
$h = CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
Следовательно, расстояние от точки D до стороны BC равно $6\sqrt{2}$ см.

4. Расстояние от точки D до стороны AB. Данных в задаче недостаточно, чтобы однозначно определить это расстояние. Форма трапеции не задана полностью (например, неясно, является ли она прямоугольной или равнобедренной), поэтому найти расстояние от вершины D до прямой AB невозможно.

Такой набор ответов и невозможность найти одно из расстояний, а также тот факт, что условие о точке S (ее расстояние до плоскости $\sqrt{7}$ см) не используется, говорит о высокой вероятности опечатки в условии задачи. Наиболее вероятно, что требовалось найти расстояние от точки S до сторон трапеции. Эта задача имеет единственное решение и использует все данные из условия. Решим ее.

Решение задачи при предположении, что требуется найти расстояние от точки S до сторон трапеции.

По условию, точка S равноудалена от всех сторон трапеции ABCD. Пусть O — проекция точки S на плоскость трапеции. Тогда O — центр вписанной в трапецию окружности. Расстояние от точки S до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра SO, то есть $SO = \sqrt{7}$ см.

Расстояние от центра вписанной окружности O до любой из сторон трапеции равно радиусу этой окружности $r$. Высота трапеции $h$, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Мы уже нашли высоту трапеции $h$, используя данные $CD=12$ см и $\angle ADC=45^\circ$:
$h = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Это расстояние от проекции точки S (точки O) до сторон трапеции.

Расстояние от точки S до любой стороны трапеции — это длина наклонной, проведенной из S к этой стороне. Пусть K — точка на любой стороне трапеции, такая что OK — перпендикуляр к этой стороне (т.е. $OK=r$). Тогда SK — перпендикуляр к стороне трапеции, и его длина — искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK (с прямым углом $\angle SOK$). По теореме Пифагора:
$SK^2 = SO^2 + OK^2$
Подставим известные значения $SO = \sqrt{7}$ и $r = OK = 3\sqrt{2}$:
$SK^2 = (\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 7 + (9 \cdot 2) = 7 + 18 = 25$
$SK = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки S до сторон трапеции равно 5 см.

Ответ: 5 см.