Номер 5, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Дан эллипс, являющийся изображением окружности с центром $O$ (рис. 102). Постройте изображение точки $O$.

Рис. 102

Поскольку эллипс является изображением окружности при параллельном проектировании, центр окружности $O$ проектируется в центр симметрии эллипса. Таким образом, задача сводится к нахождению центра данного эллипса.

Центр эллипса можно построить, используя свойство параллельных хорд. Это свойство заключается в том, что прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд эллипса, является его диаметром, то есть проходит через его центр. Найдя два таких диаметра, мы определим центр как точку их пересечения.

Алгоритм построения:

1. Провести в эллипсе произвольную хорду $AB$.
2. Провести вторую хорду $CD$, параллельную хорде $AB$.
3. Найти середину $M$ хорды $AB$ и середину $N$ хорды $CD$.
4. Провести прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая является диаметром эллипса.
5. Провести в эллипсе еще одну хорду $EF$, не параллельную $AB$.
6. Провести хорду $GH$, параллельную хорде $EF$.
7. Найти середину $P$ хорды $EF$ и середину $Q$ хорды $GH$.
8. Провести прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая также является диаметром эллипса.
9. Точка пересечения построенных прямых (диаметров) является центром эллипса. Обозначим эту точку $O'$. Эта точка и есть искомое изображение центра окружности $O$.

На рисунке показан пример такого построения. Хорды $AB$ и $CD$ параллельны. Прямая, проходящая через их середины $M$ и $N$, — диаметр. Аналогично, хорды $EF$ и $GH$ параллельны, и прямая, проходящая через их середины $P$ и $Q$, — второй диаметр. Точка их пересечения $O'$ — искомый центр.

Обоснование:

При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. В частности, середина отрезка проектируется в середину образа этого отрезка. В исходной окружности прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд, является диаметром и проходит через центр $O$. Следовательно, в эллипсе (образе окружности) прямая, проходящая через середины образов этих хорд (которые также параллельны), является образом диаметра и проходит через образ центра $O'$. Построив два таких образа диаметров, мы найдем образ центра $O'$ как точку их пересечения.

Ответ: Изображение точки $O$ — это центр эллипса, который находится как точка пересечения двух его диаметров. Каждый диаметр строится как прямая, соединяющая середины двух произвольных параллельных хорд эллипса.