Номер 2, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Точка $B$ принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на $4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна $60^{\circ}$.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребро двугранного угла).

Согласно условию, точка $B$ принадлежит одной из граней. Пусть точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$). Расстояние от точки $B$ до другой грани $\beta$ составляет $4\sqrt{3}$ см. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, $H \in \beta$, отрезок $BH \perp \beta$ и его длина $BH = 4\sqrt{3}$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до ребра $a$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $B$ к прямой $a$. Проведем такой перпендикуляр $BC$, где $C$ — точка на ребре $a$. Следовательно, $BC \perp a$, и нам нужно найти длину отрезка $BC$.

Рассмотрим отрезки $BC$, $BH$ и $HC$. Отрезок $BH$ — это перпендикуляр к плоскости $\beta$. Отрезок $BC$ — наклонная к плоскости $\beta$. Отрезок $HC$ — это проекция наклонной $BC$ на плоскость $\beta$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BC$) перпендикулярна некоторой прямой ($a$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HC$) также перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $BC \perp a$, то из теоремы следует, что $HC \perp a$.

Линейный угол двугранного угла определяется как угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в разных гранях из одной точки на ребре. В нашем случае, $BC \perp a$ и $HC \perp a$, причем $BC \in \alpha$ и $HC \in \beta$. Следовательно, угол $\angle BCH$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, его величина равна $60^\circ$, то есть $\angle BCH = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCH$. Поскольку $BH$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а отрезок $HC$ лежит в этой плоскости, то $BH \perp HC$. Это означает, что $\triangle BCH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $H$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известен катет $BH = 4\sqrt{3}$ см, который является противолежащим углу $\angle BCH = 60^\circ$. Искомое расстояние $BC$ является гипотенузой этого треугольника.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, имеем: $ \sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} $

Подставим известные значения: $ \sin(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{BC} $

Зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем уравнение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{BC} $

Выразим из этого уравнения $BC$: $ BC = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8 $ см.

Ответ: 8 см.