Номер 2, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Через вершину $A$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$, равной 8 см, проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным с гипотенузой $AB$, то его прямой угол находится при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$), а катеты $AC$ и $BC$ равны между собой.

Найдем длину катетов $AC$ и $BC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как $AC = BC$, мы можем записать: $2 \cdot AC^2 = AB^2$.

Подставим известную длину гипотенузы $AB = 8$ см:

$2 \cdot AC^2 = 8^2$

$2 \cdot AC^2 = 64$

$AC^2 = 32$

$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Таким образом, $AC = BC = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ (обозначается как $AD \perp (ABC)$). Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к этой плоскости. Следовательно, длина отрезка $AD$ равна этому расстоянию.

$AD = 2$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $D$ до прямой $BC$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть:

• $AD$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.
• $AC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $ABC$.
• Прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($DC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DC \perp BC$.

Это означает, что искомое расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $DC$.

Так как $AD \perp (ABC)$, то прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AC$. Следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAC = 90^\circ$).

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $DC$ в треугольнике $ADC$ по теореме Пифагора:

$DC^2 = AD^2 + AC^2$

$DC^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 16 \cdot 2 = 4 + 32 = 36$

$DC = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.