Страница 95 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 103 изображён ромб $ABCD$. Через точку $O$ пересечения его диагоналей проведена прямая $MO$, перпендикулярная прямой $AC$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$.

Рис. 103

Для доказательства того, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. По условию, фигура $ABCD$ — ромб. Одним из основных свойств ромба является то, что его диагонали ($AC$ и $BD$) взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BD$ ($AC \perp BD$).

2. По условию задачи, через точку пересечения диагоналей $O$ проведена прямая $MO$, которая перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, $AC \perp MO$.

3. Прямые $BD$ и $MO$ лежат в плоскости $BMD$ (поскольку точки $B, D, M, O$ лежат в этой плоскости) и пересекаются в точке $O$.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $MO$), которые лежат в плоскости $BMD$. На основании признака перпендикулярности прямой и плоскости, можно сделать вывод, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$.

2. Через вершину $A$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$, равной 8 см, проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным с гипотенузой $AB$, то его прямой угол находится при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$), а катеты $AC$ и $BC$ равны между собой.

Найдем длину катетов $AC$ и $BC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как $AC = BC$, мы можем записать: $2 \cdot AC^2 = AB^2$.

Подставим известную длину гипотенузы $AB = 8$ см:

$2 \cdot AC^2 = 8^2$

$2 \cdot AC^2 = 64$

$AC^2 = 32$

$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Таким образом, $AC = BC = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ (обозначается как $AD \perp (ABC)$). Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к этой плоскости. Следовательно, длина отрезка $AD$ равна этому расстоянию.

$AD = 2$ см.

Нам необходимо найти расстояние от точки $D$ до прямой $BC$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть:

• $AD$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.
• $AC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $ABC$.
• Прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($DC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DC \perp BC$.

Это означает, что искомое расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $DC$.

Так как $AD \perp (ABC)$, то прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AC$. Следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAC = 90^\circ$).

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $DC$ в треугольнике $ADC$ по теореме Пифагора:

$DC^2 = AD^2 + AC^2$

$DC^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 16 \cdot 2 = 4 + 32 = 36$

$DC = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3. Точка $F$ равноудалена от всех вершин прямоугольника со сторонами $12$ см и $16$ см и находится на расстоянии $2\sqrt{11}$ см от плоскости прямоугольника. Найдите расстояние от точки $F$ до вершин прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a = 12$ см и $b = 16$ см. Точка $F$ равноудалена от всех его вершин ($A$, $B$, $C$, $D$), а ее расстояние до плоскости прямоугольника равно $h = 2\sqrt{11}$ см.

Проекция точки $F$ на плоскость прямоугольника, обозначим ее $O$, является точкой, равноудаленной от всех вершин прямоугольника. В прямоугольнике такой точкой является точка пересечения его диагоналей. Расстояние от этой точки до любой из вершин равно половине длины диагонали.

Найдем диагональ прямоугольника $d$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$ $d = \sqrt{400} = 20$ см.

Расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до любой вершины (например, $A$) равно половине диагонали: $R = OA = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $FOA$. В нем катет $FO$ — это расстояние от точки $F$ до плоскости прямоугольника ($h$), катет $OA$ — это расстояние от центра прямоугольника до вершины ($R$), а гипотенуза $FA$ — искомое расстояние от точки $F$ до вершины прямоугольника.

По теореме Пифагора: $FA^2 = FO^2 + OA^2$ $FA^2 = (2\sqrt{11})^2 + 10^2 = 4 \cdot 11 + 100 = 44 + 100 = 144$ $FA = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как точка $F$ равноудалена от всех вершин, расстояние до любой из них будет одинаковым.

Ответ: 12 см.

4. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $MB$. Точка $M$ удалена от стороны $AD$ на $9\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата, если его диагональ равна 14 см.

По условию задачи, $ABCD$ — это квадрат, а $MB$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $(ABC)$. Это означает, что отрезок $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через точку $B$. Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, то есть нам нужно найти длину отрезка $MB$.

Расстояние от точки $M$ до стороны $AD$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $M$ к прямой $AD$. Рассмотрим наклонную $MA$ к плоскости квадрата и ее проекцию $AB$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($AB$) перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MA \perp AD$.

Следовательно, длина отрезка $MA$ является расстоянием от точки $M$ до стороны $AD$. По условию, это расстояние равно $9\sqrt{2}$ см, значит $MA = 9\sqrt{2}$ см.

Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp AB$. Это означает, что треугольник $\triangle MBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Теперь найдем длину стороны квадрата. Длина диагонали квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Нам дано, что $d = 14$ см.

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

Сторона квадрата $AB$ равна $7\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $MA^2 = MB^2 + AB^2$.

Выразим из этой формулы искомый катет $MB$:

$MB^2 = MA^2 - AB^2$

Подставим известные значения:

$MB^2 = (9\sqrt{2})^2 - (7\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 - 49 \cdot 2 = 162 - 98 = 64$

$MB = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

5. Точка S равноудалена от сторон трапеции ABCD $(BC \parallel AD)$ и находится на расстоянии $\sqrt{7}$ см от её пло-скости. Найдите расстояние от точки D до сторон тра-пеции, если $CD = 12$ см, $\angle ADC = 45^\circ$.

Рассмотрим расстояния от точки D до сторон трапеции ABCD.

1. Расстояние от точки D до стороны AD равно 0, так как точка D принадлежит стороне AD.

2. Расстояние от точки D до стороны CD равно 0, так как точка D принадлежит стороне CD.

3. Расстояние от точки D до стороны BC. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), расстояние от любой точки на основании AD до прямой BC равно высоте трапеции $h$. Опустим высоту $CH$ из вершины C на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол $\angle CHD = 90^\circ$, гипотенуза $CD = 12$ см, а угол $\angle HDC = \angle ADC = 45^\circ$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $45^\circ$.
$h = CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
Следовательно, расстояние от точки D до стороны BC равно $6\sqrt{2}$ см.

4. Расстояние от точки D до стороны AB. Данных в задаче недостаточно, чтобы однозначно определить это расстояние. Форма трапеции не задана полностью (например, неясно, является ли она прямоугольной или равнобедренной), поэтому найти расстояние от вершины D до прямой AB невозможно.

Такой набор ответов и невозможность найти одно из расстояний, а также тот факт, что условие о точке S (ее расстояние до плоскости $\sqrt{7}$ см) не используется, говорит о высокой вероятности опечатки в условии задачи. Наиболее вероятно, что требовалось найти расстояние от точки S до сторон трапеции. Эта задача имеет единственное решение и использует все данные из условия. Решим ее.

Решение задачи при предположении, что требуется найти расстояние от точки S до сторон трапеции.

По условию, точка S равноудалена от всех сторон трапеции ABCD. Пусть O — проекция точки S на плоскость трапеции. Тогда O — центр вписанной в трапецию окружности. Расстояние от точки S до плоскости трапеции — это длина перпендикуляра SO, то есть $SO = \sqrt{7}$ см.

Расстояние от центра вписанной окружности O до любой из сторон трапеции равно радиусу этой окружности $r$. Высота трапеции $h$, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Мы уже нашли высоту трапеции $h$, используя данные $CD=12$ см и $\angle ADC=45^\circ$:
$h = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Это расстояние от проекции точки S (точки O) до сторон трапеции.

Расстояние от точки S до любой стороны трапеции — это длина наклонной, проведенной из S к этой стороне. Пусть K — точка на любой стороне трапеции, такая что OK — перпендикуляр к этой стороне (т.е. $OK=r$). Тогда SK — перпендикуляр к стороне трапеции, и его длина — искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK (с прямым углом $\angle SOK$). По теореме Пифагора:
$SK^2 = SO^2 + OK^2$
Подставим известные значения $SO = \sqrt{7}$ и $r = OK = 3\sqrt{2}$:
$SK^2 = (\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 7 + (9 \cdot 2) = 7 + 18 = 25$
$SK = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки S до сторон трапеции равно 5 см.

Ответ: 5 см.