Страница 100 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Параллельность в пространстве

1. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины рёбер $AC, AD, BD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ соответственно, $AB = 30$ см, $CD = 26$ см (рис. 107). Докажите, что точки $M, N, K$ и $P$ являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Рис. 107

Докажите, что точки M, N, K и P являются вершинами параллелограмма

1. Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию, точка $N$ является серединой ребра $AD$, а точка $M$ – серединой ребра $AC$. Следовательно, отрезок $NM$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом:
$NM \parallel DC$ и $NM = \frac{1}{2} DC$.

2. Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, точка $K$ является серединой ребра $BD$, а точка $P$ – серединой ребра $BC$. Следовательно, отрезок $KP$ является средней линией треугольника $BDC$. По свойству средней линии:
$KP \parallel DC$ и $KP = \frac{1}{2} DC$.

3. Из результатов пунктов 1 и 2 следует, что $NM \parallel KP$ (так как обе прямые параллельны одной и той же прямой $DC$) и $NM = KP$ (так как длины обоих отрезков равны $\frac{1}{2} DC$).

4. Поскольку в четырехугольнике $MNKP$ две противоположные стороны ($NM$ и $KP$) равны и параллельны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.

Вычислите периметр этого параллелограмма

Периметр параллелограмма $MNKP$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон. В нашем случае $P_{MNKP} = 2(NM + NK)$.

1. Найдем длину стороны $NM$. По условию дано, что $CD = 26$ см. Из доказательства выше известно, что $NM = \frac{1}{2} DC$.
$NM = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

2. Найдем длину стороны $NK$. Рассмотрим треугольник $ADB$. По условию, $N$ – середина $AD$ и $K$ – середина $BD$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ADB$. По свойству средней линии, $NK$ параллельна $AB$ и равна ее половине. По условию дано, что $AB = 30$ см.
$NK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

3. Теперь вычислим периметр параллелограмма $MNKP$:
$P_{MNKP} = 2(NM + NK) = 2(13 + 15) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает стороны $DE$ и $DF$ треугольника $DEF$ в точках $B$ и $C$ соответственно и параллельна стороне $EF$, $CD : CF = 3 : 7$, $BC = 9$ см. Найдите сторону $EF$ треугольника.

По условию задачи, плоскость $\gamma$ пересекает стороны $DE$ и $DF$ треугольника $DEF$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Также известно, что плоскость $\gamma$ параллельна стороне $EF$.

Так как плоскость $\gamma$ параллельна прямой $EF$ (которая лежит в плоскости треугольника $DEF$) и пересекает плоскость треугольника по прямой $BC$, то по свойству параллельных плоскостей и прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $EF$ ($BC \parallel EF$).

Рассмотрим два треугольника: $\triangle DBC$ и $\triangle DEF$.

1. Угол $\angle D$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle DBC$ и $\angle DEF$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $EF$ и секущей $DE$, следовательно, они равны: $\angle DBC = \angle DEF$.

Из этого следует, что треугольник $DBC$ подобен треугольнику $DEF$ по первому признаку подобия (по двум равным углам): $\triangle DBC \sim \triangle DEF$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{DC}{DF} = \frac{DB}{DE} = \frac{BC}{EF}$

По условию дано отношение $CD : CF = 3 : 7$. Точка $C$ лежит на стороне $DF$, поэтому сторона $DF$ состоит из двух отрезков: $DC$ и $CF$. Следовательно, $DF = DC + CF$.

Пусть $DC = 3x$, тогда $CF = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$.

Тогда длина стороны $DF$ равна:

$DF = 3x + 7x = 10x$

Теперь найдем отношение сторон $DC$ и $DF$:

$\frac{DC}{DF} = \frac{3x}{10x} = \frac{3}{10}$

Теперь мы можем использовать это отношение в пропорции подобия, подставив известные значения ($BC = 9$ см):

$\frac{DC}{DF} = \frac{BC}{EF}$

$\frac{3}{10} = \frac{9}{EF}$

Выразим $EF$ из этой пропорции, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot EF = 10 \cdot 9$

$3 \cdot EF = 90$

$EF = \frac{90}{3}$

$EF = 30$ см.

Ответ: 30 см.

3. Параллелограмм $ABCD$ является изображением квадрата $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 108). Постройте изображение радиуса вписанной окружности квадрата, проведённого в точку касания этой окружности со стороной $A_1D_1$.

Рис. 108

Пусть параллелограмм $ABCD$ является изображением (параллельной проекцией) квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Требуется построить изображение радиуса вписанной в квадрат окружности, который проведён к точке касания этой окружности со стороной $A_1D_1$.

Обоснование построения

Построение основывается на свойствах параллельного проектирования и геометрических свойствах квадрата.
1. Центром вписанной в квадрат окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим этот центр $O_1$. При параллельном проектировании сохраняется свойство пересечения прямых, а центр симметрии фигуры переходит в центр симметрии её изображения. Поэтому изображение центра квадрата $O_1$ будет совпадать с центром параллелограмма $ABCD$ — точкой $O$ пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.
2. Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах. Следовательно, точка касания окружности со стороной $A_1D_1$, которую мы обозначим $M_1$, является серединой этой стороны. При параллельном проектировании середина отрезка проецируется в середину его изображения. Таким образом, изображением точки касания $M_1$ будет точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма.
3. Искомый радиус в исходной фигуре (квадрате) — это отрезок $O_1M_1$. Его изображением будет отрезок $OM$, соединяющий изображения его концов.

Порядок построения

На основании вышеизложенного, для построения искомого изображения радиуса необходимо выполнить следующие шаги:
1. В параллелограмме $ABCD$ провести диагонали $AC$ и $BD$.
2. Отметить точку их пересечения $O$.
3. Найти середину стороны $AD$ и отметить её как точку $M$.
4. Соединить точки $O$ и $M$ отрезком.


Отрезок $OM$ на рисунке является искомым изображением радиуса.

Ответ: Искомое изображение радиуса — это отрезок $OM$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, а $M$ – середина стороны $AD$.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Через точку $O$, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$, а другая — в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно. Найдите отрезок $B_1B_2$, если он на 3 см меньше отрезка $A_1A_2$, $A_2B_2 = 18$ см, $OA_2 = 10$ см.

Поскольку плоскости $α$ и $β$ параллельны, а две прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $O$, то эти прямые задают плоскость. Данная плоскость пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$ по параллельным прямым. Прямая пересечения с плоскостью $α$ проходит через точки $A_1$ и $A_2$, а прямая пересечения с плоскостью $β$ проходит через точки $B_1$ и $B_2$. Следовательно, прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$).

Рассмотрим треугольники $ΔOA_1A_2$ и $ΔOB_1B_2$.

1. $∠A_1OA_2 = ∠B_1OB_2$ (как вертикальные углы).

2. $∠OA_1A_2 = ∠OB_1B_2$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A_1A_2$ и $B_1B_2$ и секущей $A_1B_1$).

Таким образом, треугольники $ΔOA_1A_2$ и $ΔOB_1B_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{OA_2}{OB_2}$

Найдем длину отрезка $OB_2$. Так как точка $O$ находится между плоскостями, она лежит на отрезке $A_2B_2$. Поэтому:

$OB_2 = A_2B_2 - OA_2 = 18 - 10 = 8$ см.

Пусть длина искомого отрезка $B_1B_2$ равна $x$ см. По условию, он на 3 см меньше отрезка $A_1A_2$, значит, длина отрезка $A_1A_2$ равна $(x + 3)$ см.

Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{x + 3}{x} = \frac{10}{8}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{x + 3}{x} = \frac{5}{4}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(x + 3) = 5x$

$4x + 12 = 5x$

$5x - 4x = 12$

$x = 12$

Следовательно, длина отрезка $B_1B_2$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

5. Эллипс с центром $O$ является изображением окружности с центром $O_1$ (рис. 109). Постройте изображение двух перпендикулярных диаметров этой окружности.

Рис. 109

Изображением окружности при параллельном проецировании является эллипс. Центр окружности $O_1$ при этом переходит в центр эллипса $O$. Перпендикулярные диаметры окружности переходят в так называемые сопряженные диаметры эллипса. Сопряженные диаметры, в общем случае, не являются перпендикулярными.

Основное свойство сопряженных диаметров, которое мы используем для построения: если один диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, то и второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому.

Построение основано на этом свойстве и выполняется следующим образом:

1. Проведем в эллипсе произвольную хорду $AB$.
2. Построим еще одну хорду $CD$, параллельную хорде $AB$ ($CD \parallel AB$).
3. Найдем середины этих хорд – точки $M$ и $N$ соответственно.
4. Проведем прямую через точки $M$ и $N$. Отрезок этой прямой, являющийся хордой эллипса и проходящий через центр $O$, является одним из искомых диаметров. Обозначим его $P_1P_2$.
5. Через центр эллипса $O$ проведем прямую, параллельную хордам $AB$ и $CD$. Отрезок этой прямой, являющийся хордой эллипса, будет вторым искомым диаметром, сопряженным с $P_1P_2$. Обозначим его $Q_1Q_2$.

Полученные диаметры $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ являются искомым изображением двух перпендикулярных диаметров окружности.

Ответ: Построенные по вышеописанному алгоритму сопряженные диаметры $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ являются изображением двух перпендикулярных диаметров исходной окружности.