Страница 101 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 110 изображён прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle ACB = 90^\circ $). Через точку $C$ проведена прямая $DC$, перпендикулярная прямой $AC$. Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Рис. 110

Для доказательства того, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Признак гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Рассмотрим плоскость $BCD$ и прямую $AC$.

1. По условию задачи, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Это по определению означает, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AC \perp BC$).

2. Также по условию, через точку $C$ проведена прямая $DC$, перпендикулярная прямой $AC$. Это означает, что $AC \perp DC$.

3. Прямые $BC$ и $DC$ обе лежат в плоскости $BCD$ и пересекаются в точке $C$.

Таким образом, мы имеем прямую $AC$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $DC$), лежащим в плоскости $BCD$.

Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

2. Через вершину $B$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $6$ см проведена прямая $MB$, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $2\sqrt{13}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию задачи, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ по определению равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $MB$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $K$ на прямой $AC$. Тогда $MK \perp AC$ и, по условию, длина этого отрезка $MK = 2\sqrt{13}$ см.

Рассмотрим отрезки $MB$, $MK$ и $BK$.

• $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $MK$ — наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AC$ в плоскости $(ABC)$.
• $BK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и ее проекция ($BK$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $BK \perp AC$.

В правильном (равностороннем) треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является высотой, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона треугольника $a = 6$ см. Найдем длину высоты $BK$:
$BK = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Так как прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Значит, $MB \perp BK$. Следовательно, треугольник $MBK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MBK = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $MBK$ катетами являются $MB$ и $BK$, а гипотенузой — $MK$. По теореме Пифагора: $MK^2 = MB^2 + BK^2$

Выразим из этой формулы искомую длину $MB$: $MB^2 = MK^2 - BK^2$

Подставим известные значения $MK = 2\sqrt{13}$ см и $BK = 3\sqrt{3}$ см: $MB^2 = (2\sqrt{13})^2 - (3\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 13) - (9 \cdot 3) = 52 - 27 = 25$

$MB = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

3. Точка $D$ находится на расстоянии 17 см от каждой вершины прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если $AC = 10\sqrt{2}$ см, $BC = 2\sqrt{14}$ см.

Поскольку точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$, ее проекция на плоскость $ABC$ совпадает с центром описанной около этого треугольника окружности. Обозначим эту проекцию как точку $O$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DO$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ Подставим известные значения катетов $AC = 10\sqrt{2}$ см и $BC = 2\sqrt{14}$ см: $AB^2 = (10\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{14})^2 = 100 \cdot 2 + 4 \cdot 14 = 200 + 56 = 256$ $AB = \sqrt{256} = 16$ см.

2. Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы: $R = OA = OB = OC = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOA$ (где $\angle DOA = 90^\circ$, так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$). В этом треугольнике:

• $DA$ — гипотенуза, равная 17 см (по условию).
• $OA$ — катет, равный радиусу описанной окружности $R = 8$ см.
• $DO$ — катет, который является искомым расстоянием.

По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$ $DO^2 = DA^2 - OA^2$ $DO^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ $DO = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

4. Через вершину $C$ квадрата $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $KC$. Точка $K$ удалена от стороны $AB$ на 9 см, а от плоскости квадрата — на $3\sqrt{7}$ см. Найдите диагональ квадрата.

Поскольку перпендикуляр KC проведён из вершины C к плоскости квадрата ABCD, то его длина равна расстоянию от точки K до этой плоскости. Из условия задачи следует, что $KC = 3\sqrt{7}$ см.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае нам дано расстояние от точки K до стороны AB.

В плоскости квадрата ABCD сторона CB перпендикулярна стороне AB ($CB \perp AB$), так как все углы квадрата прямые. Отрезок CB является проекцией наклонной KB на плоскость квадрата, поскольку KC — перпендикуляр к плоскости.

По теореме о трех перпендикулярах, если прямая на плоскости (в данном случае AB) перпендикулярна проекции наклонной (CB), то она перпендикулярна и самой наклонной (KB). Таким образом, $KB \perp AB$.

Следовательно, длина отрезка KB и есть расстояние от точки K до стороны AB. По условию задачи, это расстояние равно 9 см, значит, $KB = 9$ см.

Теперь рассмотрим треугольник KCB. Так как KC перпендикулярен плоскости (ABCD), то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой CB. Это означает, что треугольник KCB — прямоугольный, где $\angle KCB = 90^\circ$.

Используя теорему Пифагора для треугольника KCB, мы можем найти длину катета CB, который также является стороной квадрата ABCD:
$KB^2 = KC^2 + CB^2$
Отсюда, $CB^2 = KB^2 - KC^2$.
Подставим известные значения:
$CB^2 = 9^2 - (3\sqrt{7})^2 = 81 - (9 \cdot 7) = 81 - 63 = 18$
$CB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Мы нашли, что сторона квадрата $a$ равна $3\sqrt{2}$ см. Диагональ квадрата $d$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
$d = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

5. Сторона ромба равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Точка $M$ удалена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Пусть дан ромб, сторона которого $a = 4$ см, а острый угол $\alpha = 60^\circ$. Пусть $M$ — точка в пространстве, которая удалена от каждой стороны ромба на $d = 5$ см. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости ромба как $h$. Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость ромба. Тогда $h = MO$.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех сторон ромба, ее проекция $O$ на плоскость ромба будет равноудалена от всех сторон ромба. Точка внутри ромба, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной в него окружности. Эта точка также является точкой пересечения диагоналей ромба.

Расстояние от точки $O$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $MO$, $OK$ и $MK$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на ближайшую сторону ромба. В этом треугольнике:

• $MK$ — гипотенуза, равная расстоянию от точки $M$ до стороны ромба, $MK = d = 5$ см.
• $MO$ — катет, равный искомому расстоянию от точки $M$ до плоскости ромба, $MO = h$.
• $OK$ — катет, равный радиусу вписанной в ромб окружности, $OK = r$.

По теореме Пифагора, $MK^2 = MO^2 + OK^2$, или $d^2 = h^2 + r^2$.

Сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности. Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h_{ромба}$.

Высоту ромба можно найти по формуле $h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$.

$h_{ромба} = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$, используя теорему Пифагора:

$h^2 = d^2 - r^2$

$h^2 = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$

$h = \sqrt{22}$ см.

Ответ: $\sqrt{22}$ см.