Номер 5, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сторона ромба равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Точка $M$ удалена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Пусть дан ромб, сторона которого $a = 4$ см, а острый угол $\alpha = 60^\circ$. Пусть $M$ — точка в пространстве, которая удалена от каждой стороны ромба на $d = 5$ см. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости ромба как $h$. Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость ромба. Тогда $h = MO$.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех сторон ромба, ее проекция $O$ на плоскость ромба будет равноудалена от всех сторон ромба. Точка внутри ромба, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной в него окружности. Эта точка также является точкой пересечения диагоналей ромба.

Расстояние от точки $O$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $MO$, $OK$ и $MK$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на ближайшую сторону ромба. В этом треугольнике:

• $MK$ — гипотенуза, равная расстоянию от точки $M$ до стороны ромба, $MK = d = 5$ см.
• $MO$ — катет, равный искомому расстоянию от точки $M$ до плоскости ромба, $MO = h$.
• $OK$ — катет, равный радиусу вписанной в ромб окружности, $OK = r$.

По теореме Пифагора, $MK^2 = MO^2 + OK^2$, или $d^2 = h^2 + r^2$.

Сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности. Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h_{ромба}$.

Высоту ромба можно найти по формуле $h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$.

$h_{ромба} = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$, используя теорему Пифагора:

$h^2 = d^2 - r^2$

$h^2 = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$

$h = \sqrt{22}$ см.

Ответ: $\sqrt{22}$ см.