Номер 1, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости

1. Из точки $M$ проведены к плоскости $\beta$ наклонные $MA$ и $MB$, образующие с ней углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\beta$, если $AM = 8\sqrt{3}$ см.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\beta$. Тогда отрезок $MH$ является общим перпендикуляром для двух наклонных, а отрезки $HA$ и $HB$ — проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\beta$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, по условию задачи:
$\angle MAH = 60^\circ$ — угол между наклонной $MA$ и плоскостью $\beta$.
$\angle MBH = 45^\circ$ — угол между наклонной $MB$ и плоскостью $\beta$.

Так как $MH \perp \beta$, то треугольники $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Нам известна длина гипотенузы $AM = 8\sqrt{3}$ см и угол $\angle MAH = 60^\circ$. Найдем длину катета $MH$, который является расстоянием от точки $M$ до плоскости $\beta$.
Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle MAH) = \frac{MH}{AM}$
Отсюда:
$MH = AM \cdot \sin(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. Нам известна длина катета $MH = 12$ см и угол $\angle MBH = 45^\circ$. Требуется найти длину катета $HB$, который является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $\beta$.
Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\angle MBH) = \frac{MH}{HB}$
Отсюда:
$HB = \frac{MH}{\tan(\angle MBH)} = \frac{12}{\tan(45^\circ)}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$HB = \frac{12}{1} = 12$ см.

Также можно заметить, что так как в прямоугольном треугольнике $\triangle MHB$ один из острых углов равен $45^\circ$ ($\angle MBH = 45^\circ$), то и второй острый угол $\angle BMH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle MHB$ является равнобедренным, и его катеты равны: $HB = MH = 12$ см.

Ответ: 12 см.