Номер 5, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Через вершину $A$ квадрата $ABCD$ провели перпендикуляр $MA$ к плоскости квадрата. Угол между плоскостями $ABC$ и $BMC$ равен $30^\circ$. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью квадрата.

Поскольку по условию прямая $MA$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными.

Угол между плоскостями $ABC$ и $BMC$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $BC$. Величиной двугранного угла является его линейный угол, то есть угол между двумя перпендикулярами к линии пересечения, проведенными в одной точке.

В плоскости квадрата $ABC$ сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$), так как все углы квадрата прямые.

Прямая $MA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $MB$ — наклонная, а $AB$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$. Поскольку проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MB$ перпендикулярна прямой $BC$ ($MB \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle MBA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BMC$. По условию задачи, этот угол равен $30^\circ$, следовательно, $\angle MBA = 30^\circ$.

Угол между прямой $MC$ и плоскостью квадрата $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на эту плоскость. Следовательно, искомый угол — это $\angle MCA$.

Для нахождения этого угла введем обозначение: пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = a$ и $BC = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ (с прямым углом $\angle MAB$). В нем известны сторона $AB=a$ и угол $\angle MBA = 30^\circ$. Найдем катет $MA$:
$\tan(\angle MBA) = \frac{MA}{AB}$
$MA = AB \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем длину диагонали квадрата $AC$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAC$ (с прямым углом $\angle MAC$). Мы нашли длины его катетов $MA$ и $AC$. Найдем тангенс искомого угла $\angle MCA$:
$\tan(\angle MCA) = \frac{MA}{AC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Следовательно, искомый угол $\angle MCA$ равен $\arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$.