Номер 4, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Основанием пирамиды является ромб с тупым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $β$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для такой пирамиды площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связана с площадью основания $S_{осн}$ следующей формулой:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$

Найдем площадь основания, которое является ромбом. Пусть $d_1 = d$ — большая диагональ ромба, а $d_2$ — меньшая диагональ. Большая диагональ лежит напротив тупого угла $α$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, делят углы ромба пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Угол, противолежащий катету $\frac{d_1}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда для второго катета $\frac{d_2}{2}$ справедливо соотношение:

$\frac{d_2/2}{d_1/2} = \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим $d_1=d$:

$\frac{d_2}{d} = \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \implies d_2 = d \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} d \left(d \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta} = \frac{\frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\beta} = \frac{d^2 \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\beta}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{d^2 \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\beta}$

2) высоту пирамиды.

Высота пирамиды $H$ падает в центр вписанной в ромб окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Угол между апофемой и радиусом (плоскостью основания) равен данному двугранному углу $β$.

Из этого треугольника следует:

$\mathrm{tg}\beta = \frac{H}{r} \implies H = r \cdot \mathrm{tg}\beta$

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Он равен половине высоты ромба $h_{ромба}$.

$r = \frac{h_{ромба}}{2}$

Высоту ромба можно выразить через его площадь и сторону. Найдем сторону ромба $a$ из прямоугольного треугольника с катетами $\frac{d}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$:

$a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{d^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4} = \frac{d^2}{4}\left(1 + \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + \mathrm{ctg}^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$, получаем:

$a^2 = \frac{d^2}{4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \implies a = \frac{d}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда:

$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\frac{d^2}{2} \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{d}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{d^2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{d} = d \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь находим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Наконец, подставляем значение $r$ в формулу для высоты пирамиды $H$:

$H = r \cdot \mathrm{tg}\beta = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}\beta$

Ответ: $H = \frac{d}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}\beta$