Номер 4, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, основанием которого является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Высота параллелепипеда равна $H$.

Меньшая диагональ ромба, обозначим ее $d_1$, лежит против острого угла $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда, равная по условию $d$, соединяет вершины, между которыми лежит меньшая диагональ основания.

Так как параллелепипед прямой, его высота $H$ перпендикулярна основанию. Диагональ параллелепипеда $d$, ее проекция на основание (которая является диагональю ромба $d_1$) и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания по условию равен $\beta$.

Из этого прямоугольного треугольника, используя определения синуса и косинуса, находим высоту $H$ и меньшую диагональ основания $d_1$:
$H = d \sin(\beta)$
$d_1 = d \cos(\beta)$

Теперь найдем сторону ромба $a$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю $d_1$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, имеем: $d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Выразим сторону ромба $a$ через $d_1$ и подставим найденное ранее выражение для $d_1$:
$a = \frac{d_1}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d \cos(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $H$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 4aH$

Подставляем выражения для $a$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{d \cos(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right) \cdot (d \sin(\beta)) = \frac{2d^2 \cos(\beta) \sin(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, упрощаем выражение:
$S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{d^2 \sin(2\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.