Страница 104 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Точка $D$ находится на расстоянии 16 см от каждой вершины равностороннего треугольника $ABC$, сторона которого равна 24 см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

1. Пусть искомое расстояние от точки D до плоскости ABC равно H. Опустим перпендикуляр DO из точки D на плоскость ABC, тогда $DO = H$.

По условию, точка D равноудалена от всех вершин треугольника ABC: $DA = DB = DC = 16$ см. Прямоугольные треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$ равны по гипотенузе (DA=DB=DC) и общему катету DO. Следовательно, равны и их вторые катеты: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Отрезки OA, OB, OC являются радиусами R этой окружности.

Треугольник ABC — равносторонний со стороной $a = 24$ см. Радиус R окружности, описанной около равностороннего треугольника, вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение стороны $a = 24$ см: $R = OA = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$. По теореме Пифагора, $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Выразим искомое расстояние DO: $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2}$.

Подставим известные значения $DA = 16$ см и $OA = 8\sqrt{3}$ см: $DO = \sqrt{16^2 - (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{256 - (64 \cdot 3)} = \sqrt{256 - 192} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2. Точка $B$ находится на расстоянии $2 \text{ см}$ от плоскости $\alpha$. Наклонные $BC$ и $BD$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы $45^{\circ}$ и $30^{\circ}$ соответственно. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если угол между проекциями наклонных на плоскость $\alpha$ равен $150^{\circ}$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина этого перпендикуляра $BH$ равна расстоянию от точки $B$ до плоскости $\alpha$, то есть $BH = 2$ см.

Отрезки $HC$ и $HD$ являются проекциями наклонных $BC$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle BHD$ являются прямоугольными, так как $BH \perp \alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle BCH = 45^{\circ}$ и $\angle BDH = 30^{\circ}$. Угол между проекциями наклонных равен $\angle CHD = 150^{\circ}$.

1. Найдем длину проекции HC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$. Катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCH$. Длину проекции $HC$ (прилежащий катет) можно найти через тангенс или котангенс угла: $HC = \frac{BH}{\tan(\angle BCH)} = \frac{2}{\tan(45^{\circ})}$ Поскольку $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $HC = \frac{2}{1} = 2$ см.

2. Найдем длину проекции HD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$. Катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BDH$. Длину проекции $HD$ (прилежащий катет) можно найти аналогично: $HD = \frac{BH}{\tan(\angle BDH)} = \frac{2}{\tan(30^{\circ})}$ Поскольку $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $HD = \frac{2}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем расстояние между точками C и D.
Точки $C$, $H$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$. Расстояние между $C$ и $D$ — это длина стороны $CD$ в треугольнике $\triangle CHD$. Мы знаем длины двух сторон ($HC = 2$ см, $HD = 2\sqrt{3}$ см) и угол между ними ($\angle CHD = 150^{\circ}$). Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle CHD$: $CD^2 = HC^2 + HD^2 - 2 \cdot HC \cdot HD \cdot \cos(\angle CHD)$ Подставим известные значения: $CD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$ Значение косинуса $150^{\circ}$ равно: $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $CD^2 = 4 + (4 \cdot 3) - 8\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $CD^2 = 4 + 12 + \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$ $CD^2 = 16 + \frac{8 \cdot 3}{2}$ $CD^2 = 16 + \frac{24}{2}$ $CD^2 = 16 + 12$ $CD^2 = 28$ Теперь найдем длину $CD$: $CD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.

3. Через вершину $D$ треугольника $DEF$, в котором $DE = DF$, проведён перпендикуляр $BD$ к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями $DEF$ и $BEF$, если $EF = 10$ см, $BE = 7$ см, $BD = 2\sqrt{3}$ см.

Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к их линии пересечения в одной и той же точке.

Плоскости $(DEF)$ и $(BEF)$ пересекаются по прямой $EF$.

1. Рассмотрим треугольник $DEF$. По условию он равнобедренный, так как $DE = DF$. Проведем в этом треугольнике высоту $DM$ к основанию $EF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ – середина отрезка $EF$.
$EM = MF = \frac{EF}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Так как $DM$ – высота, то $DM \perp EF$.

2. По условию, $BD \perp (DEF)$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $DEF$. В частности, $BD \perp DE$ и $BD \perp DM$.
$DM$ – это проекция наклонной $BM$ на плоскость $(DEF)$.
Так как проекция $DM$ перпендикулярна прямой $EF$ в плоскости $(DEF)$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $BM$ перпендикулярна прямой $EF$. То есть, $BM \perp EF$.

3. Мы получили, что $DM \perp EF$ и $BM \perp EF$. Следовательно, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(DEF)$ и $(BEF)$. Нам нужно найти величину этого угла.

4. Рассмотрим $\triangle BDE$. Так как $BD \perp (DEF)$, то $BD \perp DE$, и $\triangle BDE$ – прямоугольный. По теореме Пифагора:
$BE^2 = BD^2 + DE^2$
$DE^2 = BE^2 - BD^2 = 7^2 - (2\sqrt{3})^2 = 49 - 4 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$
$DE = \sqrt{37}$ см.

5. Рассмотрим $\triangle DME$. Так как $DM$ – высота, то $\triangle DME$ – прямоугольный ($ \angle DME = 90^\circ $). По теореме Пифагора:
$DE^2 = DM^2 + EM^2$
$DM^2 = DE^2 - EM^2 = 37 - 5^2 = 37 - 25 = 12$
$DM = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

6. Рассмотрим $\triangle BMD$. Так как $BD \perp (DEF)$, то $BD \perp DM$, следовательно, $\triangle BMD$ – прямоугольный ($ \angle BDM = 90^\circ $).
Мы знаем длины катетов этого треугольника:
$BD = 2\sqrt{3}$ см (по условию).
$DM = 2\sqrt{3}$ см (из пункта 5).
Так как катеты равны, $\triangle BMD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны $45^\circ$.
Можно также найти тангенс искомого угла $\angle BMD$:
$\text{tg}(\angle BMD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BD}{DM} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$
Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
Следовательно, $\angle BMD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, основанием которого является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Высота параллелепипеда равна $H$.

Меньшая диагональ ромба, обозначим ее $d_1$, лежит против острого угла $\alpha$. Меньшая диагональ параллелепипеда, равная по условию $d$, соединяет вершины, между которыми лежит меньшая диагональ основания.

Так как параллелепипед прямой, его высота $H$ перпендикулярна основанию. Диагональ параллелепипеда $d$, ее проекция на основание (которая является диагональю ромба $d_1$) и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания по условию равен $\beta$.

Из этого прямоугольного треугольника, используя определения синуса и косинуса, находим высоту $H$ и меньшую диагональ основания $d_1$:
$H = d \sin(\beta)$
$d_1 = d \cos(\beta)$

Теперь найдем сторону ромба $a$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю $d_1$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, имеем: $d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Выразим сторону ромба $a$ через $d_1$ и подставим найденное ранее выражение для $d_1$:
$a = \frac{d_1}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d \cos(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $H$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 4aH$

Подставляем выражения для $a$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{d \cos(\beta)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right) \cdot (d \sin(\beta)) = \frac{2d^2 \cos(\beta) \sin(\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, упрощаем выражение:
$S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{d^2 \sin(2\beta)}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

5. Боковые грани $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AC = 20$ см, $BC = 16$ см, а расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно 13 см.

Поскольку боковые грани $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, их линия пересечения, ребро $MA$, перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $MA$ является высотой пирамиды. Из этого следует, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ — прямоугольные с прямыми углами при вершине $A$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как сумма площадей трёх её боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC}$.

Нахождение необходимых для расчёта длин рёбер

1. В основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$) с гипотенузой $AC = 20$ см и катетом $BC = 16$ см. По теореме Пифагора найдём катет $AB$:

$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно 13 см. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $BC$. Пусть $MK \perp BC$, где $K$ лежит на прямой $BC$, тогда $MK=13$ см. Поскольку $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $MK$ — наклонная к этой плоскости, то $AK$ — её проекция. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $MK \perp BC$, то и её проекция $AK \perp BC$. В треугольнике $ABC$ отрезком, проведённым из $A$ перпендикулярно к $BC$, является катет $AB$ (так как $\angle ABC = 90^\circ$). Следовательно, точка $K$ совпадает с точкой $B$, и расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ — это длина отрезка $MB$. Таким образом, $MB = 13$ см.

3. Теперь мы можем найти высоту пирамиды $MA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAB$ ($\angle MAB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MA = \sqrt{MB^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: Длины рёбер, необходимые для расчёта: $AB = 12$ см, $MA = 5$ см, $MB = 13$ см.

Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, зная все необходимые длины, вычислим площади боковых граней.

1. Площадь грани $MAB$. Это прямоугольный треугольник с катетами $MA=5$ см и $AB=12$ см.

$S_{\triangle MAB} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

2. Площадь грани $MAC$. Это прямоугольный треугольник с катетами $MA=5$ см и $AC=20$ см.

$S_{\triangle MAC} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20 = 50$ см$^2$.

3. Площадь грани $MBC$. Докажем, что $\triangle MBC$ — прямоугольный. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA \perp BC$. По условию, $AB \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($MA$ и $AB$) плоскости $(MAB)$, она перпендикулярна этой плоскости. Значит, $BC \perp MB$. Следовательно, $\triangle MBC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Его катеты $BC=16$ см и $MB=13$ см.

$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 13 = 104$ см$^2$.

4. Найдём общую площадь боковой поверхности, сложив площади граней:

$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC} = 30 + 50 + 104 = 184$ см$^2$.

Ответ: $184$ см$^2$.