Страница 97 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Многогранники

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её боковое ребро равно 5 см.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$), так как у призмы два основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Вычисление площади основания.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, следовательно, $h = 5$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр основания – это сумма длин всех его сторон. Нам известны два катета ($a=6$ см, $b=8$ см), найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$ см².

3. Вычисление площади полной поверхности.

Подставим найденные значения площади основания и боковой поверхности в исходную формулу:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 120 + 2 \cdot 24 = 120 + 48 = 168$ см².

Ответ: 168 см².

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а высота пирамиды $-$ $2\sqrt{5}$ см. Найдите:

1) боковое ребро пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Дана правильная треугольная пирамида.
Сторона основания (правильного треугольника) $a = 4\sqrt{3}$ см.
Высота пирамиды $H = 2\sqrt{5}$ см.

1) боковое ребро пирамиды;

Боковое ребро $l$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности.
Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.
Теперь по теореме Пифагора найдем боковое ребро $l$:
$l^2 = H^2 + R^2$
$l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 16} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $h_s$ (высоту боковой грани).
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$.
Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Апофему $h_s$ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $r$ вписанной в основание окружности.
Найдем радиус $r$ вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_s$:
$h_s^2 = H^2 + r^2$
$h_s = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{20 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (12\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6}) = 12 \sqrt{3 \cdot 6} = 12\sqrt{18} = 12\sqrt{9 \cdot 2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см².
Ответ: $36\sqrt{2}$ см².

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 22 см, а боковое ребро — $4\sqrt{5}$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется как сумма площадей ее боковых граней. В данном случае, поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобоких трапеций.

Дано:
Сторона нижнего основания (квадрата) $a = 22$ см.
Сторона верхнего основания (квадрата) $b = 6$ см.
Боковое ребро $c = 4\sqrt{5}$ см.

Рассмотрим одну боковую грань — равнобокую трапецию с основаниями $a=22$ см, $b=6$ см и боковыми сторонами (ребрами пирамиды) $c = 4\sqrt{5}$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h_a$, где $h_a$ — высота трапеции, которая также является апофемой усеченной пирамиды.

Чтобы найти высоту $h_a$, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Высота образует прямоугольный треугольник, в котором:
- гипотенуза — это боковое ребро $c = 4\sqrt{5}$ см;
- один катет — это искомая высота $h_a$;
- второй катет — это отрезок на большем основании, равный полуразности оснований: $\frac{a-b}{2} = \frac{22 - 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h_a$:

$c^2 = h_a^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$h_a^2 = c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$h_a = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 8^2} = \sqrt{16 \cdot 5 - 64} = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, зная высоту трапеции, можем вычислить ее площадь:

$S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h_a = \frac{22+6}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех таких граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трапеции} = 4 \cdot 56 = 224$ см².

Ответ: $224$ см².

4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = AC = a$ и углом при вершине $\angle BAC = \alpha$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Обозначим эту точку $O$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды, а радиус вписанной окружности — $r$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ и площадь основания $S_{осн}$ связаны соотношением $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\beta)}$.

Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и двугранным углом $\beta$ соотношением $H = r \cdot \tan(\beta)$.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

Сначала найдем площадь основания пирамиды — равнобедренного треугольника $ABC$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.

Теперь, используя известную формулу, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)}{\cos(\beta)} = \frac{a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$.

2) высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту пирамиды $H$, нам необходимо сначала найти радиус $r$ вписанной в основание окружности. Для этого рассмотрим треугольник в основании $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AD$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой, поэтому $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $ABD$ находим половину основания $BC$:

$BD = AB \cdot \sin(\angle BAD) = a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Углы при основании треугольника $ABC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на пересечении биссектрис. Так как $AD$ — биссектриса, точка $O$ лежит на $AD$. Проведем биссектрису угла $B$, которая пересечет $AD$ в точке $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBD$. Угол $\angle OBD$ равен половине угла $\angle ABC$:

$\angle OBD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Катет $OD$ в этом треугольнике является радиусом вписанной окружности, $OD = r$.

Из треугольника $OBD$ имеем:

$\tan(\angle OBD) = \frac{OD}{BD} \Rightarrow r = OD = BD \cdot \tan(\angle OBD)$.

$r = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(\beta) = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \tan(\beta)$.

Ответ: $H = a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \tan(\beta)$.

5. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 18 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 8 см и углом 60° между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру, а $l$ — длина бокового ребра.

По условию задачи, длина бокового ребра $l = 18$ см. Перпендикулярное сечение представляет собой треугольник, у которого известны две стороны $a = 3$ см, $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60^\circ$.

Чтобы найти периметр сечения, необходимо сначала вычислить длину его третьей стороны, которую обозначим как $c$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, произведем вычисления:

$c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 73 - 24$

$c^2 = 49$

Отсюда находим длину третьей стороны: $c = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$, сложив длины всех его сторон:

$P_{\perp} = 3 + 8 + 7 = 18$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы, умножив периметр перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 18 \cdot 18 = 324$ см$^2$.

Ответ: $324$ см$^2$.