Страница 94 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Параллельность в пространстве

1. Точки D, E, F и K — середины рёбер AB, MB, MC и AC тетраэдра MABC соответственно, $BC = 42$ см, $AM = 36$ см (рис. 100). Докажите, что точки D, E, F и K являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Рис. 100

Докажите, что точки D, E, F и K являются вершинами параллелограмма

Рассмотрим тетраэдр $MABC$. По условию задачи точки $D, E, F, K$ являются серединами рёбер $AB, MB, MC$ и $AC$ соответственно. Для доказательства того, что четырёхугольник $DEFK$ является параллелограммом, достаточно доказать, что одна пара его противоположных сторон параллельна и равна.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$.
Так как точка $D$ — середина ребра $AB$ и точка $E$ — середина ребра $MB$, то отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABM$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно:
$DE \parallel AM$ и $DE = \frac{1}{2} AM$.

2. Рассмотрим треугольник $ACM$.
Так как точка $K$ — середина ребра $AC$ и точка $F$ — середина ребра $MC$, то отрезок $KF$ является средней линией треугольника $ACM$.
По свойству средней линии треугольника:
$KF \parallel AM$ и $KF = \frac{1}{2} AM$.

3. Из полученных соотношений следует, что $DE \parallel AM$ и $KF \parallel AM$. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, значит, $DE \parallel KF$.
Также мы получили, что $DE = \frac{1}{2} AM$ и $KF = \frac{1}{2} AM$. Следовательно, $DE = KF$.

Поскольку в четырёхугольнике $DEFK$ противоположные стороны $DE$ и $KF$ параллельны и равны, то по признаку параллелограмма $DEFK$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $DEFK$ является параллелограммом.

вычислите периметр этого параллелограмма

Периметр параллелограмма $DEFK$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон: $P_{DEFK} = 2 \cdot (DE + EF)$.

1. Длину стороны $DE$ найдем, используя данные из условия ($AM = 36$ см). Как было показано в доказательстве, $DE$ является средней линией треугольника $ABM$.
$DE = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ см.

2. Длину стороны $EF$ найдем, рассмотрев треугольник $BCM$.
Так как точка $E$ — середина ребра $MB$ и точка $F$ — середина ребра $MC$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCM$.
По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BC$ и равна её половине. Используя данные из условия ($BC = 42$ см):
$EF = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21$ см.

3. Теперь вычислим периметр параллелограмма $DEFK$:
$P_{DEFK} = 2 \cdot (DE + EF) = 2 \cdot (18 + 21) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.

2. Плоскость $\beta$ пересекает стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$ соответственно и параллельна стороне $AB$, $AE : CE = 5 : 2$, $AB = 21$ см. Найдите отрезок $EF$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Плоскость $\beta$ пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Так как плоскость $\beta$ параллельна стороне $AB$, то линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью треугольника $ABC$ (которой является прямая $EF$) будет параллельна стороне $AB$. Таким образом, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EFC$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle CEF$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольник $\triangle EFC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{CE}{AC} = \frac{CF}{BC} = \frac{EF}{AB}$

По условию дано отношение $AE : CE = 5 : 2$. Обозначим $AE = 5x$ и $CE = 2x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда вся сторона $AC$ будет равна сумме ее частей:

$AC = AE + CE = 5x + 2x = 7x$

Теперь мы можем найти отношение сторон $CE$ и $AC$:

$\frac{CE}{AC} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7}$

Подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников:

$\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{AC}$

$\frac{EF}{21} = \frac{2}{7}$

Выразим отсюда $EF$:

$EF = \frac{2 \times 21}{7} = 2 \times 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

3. Параллелограмм $ABCD$ является изображением ромба $A_1B_1C_1D_1$, точка $M$ — изображение некоторой точки $M_1$ отрезка $C_1D_1$ (рис. 101). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$ ромба.

Рис. 101

Пусть параллелограмм $ABCD$ является изображением ромба $A_1B_1C_1D_1$ при параллельном проектировании. Это означает, что точки $A, B, C, D$ являются проекциями вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Точка $M$ на отрезке $CD$ является изображением точки $M_1$ на отрезке $C_1D_1$.

Наша задача — построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $M_1H_1$, где $H_1$ — это основание перпендикуляра, лежащее на диагонали $B_1D_1$. По определению, $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

Анализ

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и параллельного проектирования:

1. Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Для ромба $A_1B_1C_1D_1$ это означает, что $A_1C_1 \perp B_1D_1$.

2. По условию, нам нужно построить перпендикуляр из точки $M_1$ к диагонали $B_1D_1$. То есть, $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

3. В плоскости ромба мы имеем две прямые, $M_1H_1$ и $A_1C_1$, которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $B_1D_1$. Из этого следует, что эти две прямые параллельны друг другу: $M_1H_1 \| A_1C_1$.

4. Важнейшее свойство параллельного проектирования заключается в том, что оно сохраняет параллельность прямых. Следовательно, изображение прямой $M_1H_1$ (обозначим его $MH$) должно быть параллельно изображению прямой $A_1C_1$ (которое является диагональю $AC$ параллелограмма $ABCD$).

5. Поскольку точка $H_1$ лежит на диагонали $B_1D_1$, ее изображение, точка $H$, должна лежать на изображении этой диагонали, то есть на диагонали $BD$.

Из анализа следует, что для построения искомого отрезка $MH$ необходимо через точку $M$ провести прямую, параллельную диагонали $AC$, и найти ее точку пересечения с диагональю $BD$.

Построение

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Соединяем вершины $A$ и $C$, а также $B$ и $D$, чтобы построить диагонали параллелограмма $ABCD$.

2. Через данную точку $M$ на стороне $CD$ проводим прямую, параллельную диагонали $AC$.

3. Находим точку пересечения этой прямой с диагональю $BD$. Обозначаем эту точку как $H$.

4. Отрезок $MH$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$.

Доказательство

Докажем, что построенный отрезок $MH$ действительно является изображением перпендикуляра $M_1H_1$ к диагонали $B_1D_1$.

По нашему построению, прямая $MH$ параллельна диагонали $AC$ ($MH \| AC$). Так как параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых, их прообразы также должны быть параллельны. Прообразом отрезка $MH$ является отрезок $M_1H_1$, а прообразом диагонали $AC$ — диагональ $A_1C_1$. Следовательно, $M_1H_1 \| A_1C_1$.

В ромбе $A_1B_1C_1D_1$ диагонали перпендикулярны: $A_1C_1 \perp B_1D_1$.

Поскольку $M_1H_1 \| A_1C_1$ и $A_1C_1 \perp B_1D_1$, то отсюда следует, что $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

Точка $M$ лежит на $CD$, значит, ее прообраз $M_1$ лежит на $C_1D_1$. Точка $H$ лежит на диагонали $BD$, значит, ее прообраз $H_1$ лежит на диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, $M_1H_1$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$. Следовательно, построенный отрезок $MH$ является его изображением. Построение верно.

Ответ: Искомым изображением перпендикуляра является отрезок $MH$, построенный путем проведения через точку $M$ прямой, параллельной диагонали $AC$, до пересечения с диагональю $BD$ в точке $H$.

4. Плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны. Из точки A, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\beta$ и $\gamma$ в точках $B_1$ и $C_1$, а другой — в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно. Найдите отрезок $C_1C_2$, если он на 14 см больше отрезка $B_1B_2$, $AC_1=11$ см, $B_1C_1=7$ см.

Два луча, выходящие из точки $ A $, определяют плоскость, назовем ее $ \alpha $. Согласно свойству параллельных плоскостей, если плоскость $ \alpha $ пересекает две параллельные плоскости $ \beta $ и $ \gamma $, то линии их пересечения параллельны. В данном случае, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ \beta $ — это прямая, проходящая через точки $ B_1 $ и $ B_2 $, а линия пересечения с плоскостью $ \gamma $ — это прямая, проходящая через точки $ C_1 $ и $ C_2 $. Таким образом, мы имеем $ B_1B_2 \parallel C_1C_2 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AB_1B_2 $ и $ \triangle AC_1C_2 $, лежащие в плоскости $ \alpha $. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
1. Угол $ \angle C_1AC_2 $ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $ \angle AB_1B_2 $ и $ \angle AC_1C_2 $ равны как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $ B_1B_2 $ и $ C_1C_2 $ секущей $ AC_1 $.

Из подобия треугольников $ \triangle AB_1B_2 \sim \triangle AC_1C_2 $ следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AB_1}{AC_1} = \frac{B_1B_2}{C_1C_2} $

Точки $ A, B_1, C_1 $ лежат на одном луче. По условию, точка $ A $ не находится между плоскостями, а луч пересекает сначала плоскость $ \beta $ в точке $ B_1 $, а затем плоскость $ \gamma $ в точке $ C_1 $. Это означает, что точка $ B_1 $ лежит на отрезке $ AC_1 $.
Следовательно, длина отрезка $ AC_1 $ равна сумме длин отрезков $ AB_1 $ и $ B_1C_1 $: $ AC_1 = AB_1 + B_1C_1 $.
Известно, что $ AC_1 = 11 $ см и $ B_1C_1 = 7 $ см. Найдем длину отрезка $ AB_1 $:
$ AB_1 = AC_1 - B_1C_1 = 11 - 7 = 4 $ см.

По условию задачи, отрезок $ C_1C_2 $ на 14 см больше отрезка $ B_1B_2 $. Введем переменную: пусть $ B_1B_2 = x $ см. Тогда $ C_1C_2 = (x + 14) $ см.

Подставим известные и выраженные значения в пропорцию, полученную из подобия треугольников:
$ \frac{4}{11} = \frac{x}{x + 14} $

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 4(x + 14) = 11x $
$ 4x + 56 = 11x $
$ 11x - 4x = 56 $
$ 7x = 56 $
$ x = \frac{56}{7} = 8 $
Таким образом, мы нашли, что длина отрезка $ B_1B_2 $ равна 8 см.

Теперь найдем искомую длину отрезка $ C_1C_2 $:
$ C_1C_2 = x + 14 = 8 + 14 = 22 $ см.

Ответ: 22 см.

5. Дан эллипс, являющийся изображением окружности с центром $O$ (рис. 102). Постройте изображение точки $O$.

Рис. 102

Поскольку эллипс является изображением окружности при параллельном проектировании, центр окружности $O$ проектируется в центр симметрии эллипса. Таким образом, задача сводится к нахождению центра данного эллипса.

Центр эллипса можно построить, используя свойство параллельных хорд. Это свойство заключается в том, что прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд эллипса, является его диаметром, то есть проходит через его центр. Найдя два таких диаметра, мы определим центр как точку их пересечения.

Алгоритм построения:

1. Провести в эллипсе произвольную хорду $AB$.
2. Провести вторую хорду $CD$, параллельную хорде $AB$.
3. Найти середину $M$ хорды $AB$ и середину $N$ хорды $CD$.
4. Провести прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая является диаметром эллипса.
5. Провести в эллипсе еще одну хорду $EF$, не параллельную $AB$.
6. Провести хорду $GH$, параллельную хорде $EF$.
7. Найти середину $P$ хорды $EF$ и середину $Q$ хорды $GH$.
8. Провести прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая также является диаметром эллипса.
9. Точка пересечения построенных прямых (диаметров) является центром эллипса. Обозначим эту точку $O'$. Эта точка и есть искомое изображение центра окружности $O$.

На рисунке показан пример такого построения. Хорды $AB$ и $CD$ параллельны. Прямая, проходящая через их середины $M$ и $N$, — диаметр. Аналогично, хорды $EF$ и $GH$ параллельны, и прямая, проходящая через их середины $P$ и $Q$, — второй диаметр. Точка их пересечения $O'$ — искомый центр.

Обоснование:

При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. В частности, середина отрезка проектируется в середину образа этого отрезка. В исходной окружности прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд, является диаметром и проходит через центр $O$. Следовательно, в эллипсе (образе окружности) прямая, проходящая через середины образов этих хорд (которые также параллельны), является образом диаметра и проходит через образ центра $O'$. Построив два таких образа диаметров, мы найдем образ центра $O'$ как точку их пересечения.

Ответ: Изображение точки $O$ — это центр эллипса, который находится как точка пересечения двух его диаметров. Каждый диаметр строится как прямая, соединяющая середины двух произвольных параллельных хорд эллипса.