Страница 87 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. В правильной четырёхугольной призме $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ сторона основания равна $8\sqrt{2}$ см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ $BD$ нижнего основания и середину стороны $B_1 C_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 8\sqrt{2}$ см. Боковое ребро призмы равно $h = 3$ см. Секущая плоскость проходит через диагональ нижнего основания $BD$ и точку $M$ — середину стороны $B_1C_1$ верхнего основания.

Поскольку плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, параллельной линии её пересечения с нижним основанием, то есть прямой $BD$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную диагонали $B_1D_1$ (которая, в свою очередь, параллельна $BD$). Эта прямая пересечёт ребро $C_1D_1$ в его середине, точке $N$. Таким образом, искомое сечение — четырёхугольник $BDNM$.

Так как $MN \parallel BD$ по построению, четырёхугольник $BDNM$ является трапецией. Найдём длины её боковых сторон $BM$ и $DN$. В прямоугольном треугольнике $BB_1M$ (угол $B_1$ прямой, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию), катет $BB_1 = 3$ см, а катет $B_1M = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2 = 3^2 + (4\sqrt{2})^2 = 9 + 16 \cdot 2 = 9 + 32 = 41$. $BM = \sqrt{41}$ см.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $DD_1N'$, где $N'$ - проекция точки $N$ на ребро $CD$. Более просто воспользоваться симметрией. Призма правильная, а точки $M$ и $N$ — середины соответствующих рёбер. В силу симметрии относительно плоскости $ACC_1A_1$, имеем $DN = BM = \sqrt{41}$ см. Так как боковые стороны трапеции равны, трапеция $BDNM$ является равнобедренной.

Большее основание $BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. $BD = (8\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Меньшее основание $MN$ соединяет середины сторон $B_1C_1$ и $C_1D_1$. В треугольнике $B_1C_1D_1$ отрезок $MN$ является средней линией, параллельной стороне $B_1D_1$. $MN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Высоту $h'$ равнобедренной трапеции $BDNM$ удобно найти как расстояние между серединами её оснований. Пусть $O$ — середина $BD$ (центр нижнего основания), а $P$ — середина $MN$. Тогда высота $h' = OP$.

Чтобы найти длину отрезка $OP$, рассмотрим его проекции на горизонтальную и вертикальную оси. Вертикальная проекция $OP$ равна высоте призмы, то есть 3 см. Горизонтальная проекция $OP$ равна расстоянию между проекциями точек $O$ и $P$ на плоскость основания $ABCD$. Проекцией точки $O$ является сама точка $O$. Проекцией точки $P$ (середины $MN$) является точка $P'$ (середина отрезка $M'N'$, где $M'$ и $N'$ — середины рёбер $BC$ и $CD$ соответственно).

Найдём расстояние $OP'$. В плоскости основания $ABCD$ точки $O, C, M', N'$ образуют следующую конфигурацию: $O$ — центр квадрата, $M'$ — середина $BC$, $N'$ — середина $CD$, $P'$ — середина $M'N'$. Расстояние $OC$ равно половине диагонали, то есть $OC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. В треугольнике $CM'N'$ отрезок $CP'$ является медианой к гипотенузе, поэтому $CP' = \frac{1}{2} M'N'$. $M'N' = \frac{1}{2} BD = 8$ см, значит $CP' = 4$ см. Точка $P'$ лежит на диагонали $AC$. Тогда расстояние $OP' = OC - CP' = 8 - 4 = 4$ см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции $h' = OP$ по теореме Пифагора в пространстве, используя её вертикальную (3 см) и горизонтальную (4 см) проекции: $h'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $h' = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь трапеции $BDNM$ вычисляется по формуле: $S = \frac{BD + MN}{2} \cdot h'$ Подставим найденные значения: $S = \frac{16 + 8}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

Ответ: 60 см$^2$.

165. Боковое ребро наклонной призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$, а проекция этого ребра на плоскость основания равна 15 см. Найдите высоту призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром наклонной призмы, ее высотой и проекцией бокового ребра на плоскость основания.

В этом треугольнике:

• боковое ребро ($l$) является гипотенузой;
• высота призмы ($h$) является катетом, противолежащим углу наклона бокового ребра к основанию;
• проекция бокового ребра ($p$) является катетом, прилежащим к этому углу.

Согласно условию задачи, угол наклона $\alpha$ равен $30^{\circ}$, а длина проекции $p$ равна $15$ см.

Соотношение между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике можно выразить через тангенс этого угла:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{p}$

Выразим из этой формулы искомую высоту $h$:

$h = p \cdot \tan(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$h = 15 \cdot \tan(30^{\circ})$

Известно, что значение тангенса $30^{\circ}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$h = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

166. Расстояние между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 6 см, 8 см и 7 см, а площадь её боковой поверхности — $126 \text{ см}^2$. Найдите боковое ребро призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра её перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$).

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, полученный в результате пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. Стороны этого многоугольника равны расстояниям между боковыми рёбрами.

В данной задаче мы имеем наклонную треугольную призму. Её перпендикулярное сечение — это треугольник со сторонами, равными заданным расстояниям: 6 см, 8 см и 7 см.

1. Найдём периметр перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$)

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

$P_{\perp} = 6 + 8 + 7 = 21$ см

2. Найдём боковое ребро призмы ($l$)

Из формулы для площади боковой поверхности выразим длину бокового ребра:

$l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}}$

По условию, площадь боковой поверхности $S_{бок} = 126$ см². Подставим известные значения в формулу:

$l = \frac{126}{21} = 6$ см

Ответ: 6 см.

167. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее боковое ребро равно 15 см и удалено от двух других боковых рёбер на 24 см и 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ — это длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ — это периметр сечения призмы, перпендикулярного боковым ребрам (так называемого перпендикулярного сечения).

В условии задачи дано, что две боковые грани призмы перпендикулярны. Это означает, что двугранный угол при их общем боковом ребре равен $90^\circ$. Перпендикулярное сечение призмы представляет собой треугольник, углы которого равны двугранным углам при соответствующих боковых ребрах. Следовательно, перпендикулярное сечение в данном случае — это прямоугольный треугольник.

Стороны этого перпендикулярного сечения — это расстояния между боковыми ребрами. По условию, общее боковое ребро двух перпендикулярных граней удалено от двух других боковых ребер на 24 см и 10 см. Эти расстояния являются катетами прямоугольного треугольника в перпендикулярном сечении.

Пусть катеты перпендикулярного сечения равны $a = 24$ см и $b = 10$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь мы можем найти периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$: $P_{\perp} = a + b + c = 24 + 10 + 26 = 60$ см.

Длина бокового ребра $l$ дана в условии и равна 15 см. Подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 60 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 900$ см².

Ответ: 900 см².

168. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$, $AC = BC = 4$ см. Боковое ребро $CC_1$ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$, а проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1 B_1 B$.

Основанием призмы является прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с катетами $AC = BC = 4$ см. Прямой угол - $\angle C$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

По условию, проекцией точки $C_1$ на плоскость основания $ABC$ является центр описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $O$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Таким образом, $O$ - середина $AB$.

Угол между боковым ребром $CC_1$ и плоскостью основания $ABC$ - это угол между самой прямой $CC_1$ и её проекцией $OC$ на плоскость. Следовательно, $\angle C_1CO = 60^\circ$. Так как $C_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, треугольник $\triangle C_1OC$ - прямоугольный ($\angle C_1OC = 90^\circ$).

Отрезок $OC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в $\triangle ABC$. Длина такой медианы равна половине гипотенузы:

$OC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle C_1OC$ найдем длину бокового ребра $CC_1$, которое является гипотенузой в этом треугольнике:

$\cos(\angle C_1CO) = \frac{OC}{CC_1} \implies CC_1 = \frac{OC}{\cos(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{1/2} = 4\sqrt{2}$ см.

Все боковые ребра призмы равны, значит $AA_1 = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см.

Боковая грань $AA_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $AB$ и $AA_1$. Найдем ее площадь. Для этого определим, является ли эта грань прямоугольником, т.е. перпендикулярны ли ребра $AB$ и $AA_1$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, это эквивалентно проверке перпендикулярности $AB$ и $CC_1$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $OC$ является также высотой, поэтому $OC \perp AB$.
По построению, $C_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, значит $C_1O \perp AB$.
Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OC$ и $C_1O$) в плоскости $C_1OC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $C_1OC$.

Так как ребро $CC_1$ лежит в плоскости $C_1OC$, то $AB \perp CC_1$. Следовательно, $AB \perp AA_1$, и грань $AA_1B_1B$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $AA_1B_1B$ равна произведению его сторон:

$S_{AA_1B_1B} = AB \cdot AA_1 = (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Ответ: $32$ см$^2$.

169. Основанием призмы является квадрат со стороной 5 см. Две боковые грани призмы — квадраты, а две другие — ромбы с углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее четырех боковых граней. По условию, две грани являются квадратами, а две другие — ромбами. Таким образом, формула для расчета имеет вид:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{квадрата} + 2 \cdot S_{ромба}$

Основанием призмы является квадрат со стороной $a = 5$ см. Следовательно, боковые грани, которые являются квадратами, также имеют сторону 5 см. Площадь одного такого квадрата составляет:

$S_{квадрата} = a^2 = 5^2 = 25$ см².

Две другие боковые грани — это ромбы. Сторона ромба равна стороне основания, то есть 5 см. Угол ромба по условию равен 60°. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — угол между сторонами. Подставим значения:

$S_{ромба} = 5^2 \cdot \sin(60°) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности, используя исходную формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot 25 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} = 50 + 25\sqrt{3}$ см².

Выражение можно также представить, вынеся общий множитель за скобки: $25(2 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $50 + 25\sqrt{3}$ см².

Параллелепипед

170. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда образует с его боковым ребром угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — боковое ребро (высота).По условию задачи, стороны основания равны $a = 5$ см и $b = 12$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$S_{полн} = 2(ab + ac + bc)$.Для вычисления площади нам необходимо найти высоту $c$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $D$, его проекцией на основание (которая является диагональю основания $d$) и боковым ребром $c$. В этом треугольнике $D$ является гипотенузой, а $d$ и $c$ — катетами.

По условию, угол между диагональю параллелепипеда $D$ и боковым ребром $c$ составляет 45°. В данном прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета $d$ к прилежащему катету $c$ равно тангенсу этого угла:

$\tan(45^\circ) = \frac{d}{c}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, мы получаем:

$1 = \frac{d}{c} \implies d = c$

Это означает, что высота параллелепипеда равна диагонали его основания.

Теперь найдем диагональ основания $d$. Основание — это прямоугольник со сторонами $a = 5$ см и $b = 12$ см. По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$d = \sqrt{169} = 13$ см.

Так как $c = d$, то высота параллелепипеда $c = 13$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a=5$, $b=12$, $c=13$), мы можем найти площадь его полной поверхности:

$S_{полн} = 2(ab + ac + bc) = 2(5 \cdot 12 + 5 \cdot 13 + 12 \cdot 13)$

$S_{полн} = 2(60 + 65 + 156) = 2(281) = 562$ см$^2$.

Ответ: 562 см$^2$.