Страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна $12\sqrt{3}$ см$^2$, а площадь полной поверхности — $20\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите высоту призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию задачи, $S_{полн} = 20\sqrt{3}$ см² и $S_{бок} = 12\sqrt{3}$ см². Используя эти данные, найдем площадь одного основания призмы.

$2 \cdot S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$

$2 \cdot S_{осн} = 20\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

$S_{осн} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см²

Поскольку призма правильная треугольная, в её основании лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение площади основания и найдем длину стороны $a$:

$4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на $\sqrt{3}$:

$16 = a^2$

$a = 4$ см

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр основания (равностороннего треугольника) равен:

$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12$ см

Теперь мы можем найти высоту призмы $h$:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}}$

$h = \frac{12\sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}$ см

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

158. Все рёбра правильной шестиугольной призмы равны, а её большая диагональ равна $8\sqrt{5}$ см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $a$ – длина ребра правильной шестиугольной призмы. Согласно условию, все рёбра призмы равны. Это означает, что сторона основания равна $a$, и высота призмы $h$ также равна $a$.

Большая диагональ призмы ($D$) образует прямоугольный треугольник с высотой призмы ($h$) и большей диагональю основания ($d_{осн}$). Катетами этого треугольника являются $h$ и $d_{осн}$, а гипотенузой – $D$. По теореме Пифагора:

$D^2 = d_{осн}^2 + h^2$

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Большая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Таким образом:

$d_{осн} = 2a$

Так как высота призмы $h = a$, а большая диагональ призмы $D = 8\sqrt{5}$ см, подставим эти значения в уравнение:

$(8\sqrt{5})^2 = (2a)^2 + a^2$

$64 \cdot 5 = 4a^2 + a^2$

$320 = 5a^2$

$a^2 = \frac{320}{5}$

$a^2 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ см (длина ребра является положительной величиной).

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Периметр основания (правильного шестиугольника) равен:

$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 8 = 48$ см.

Высота призмы:

$h = a = 8$ см.

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 48 \cdot 8 = 384$ см².

Ответ: 384 см².

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 12 см, а диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с боковым ребром угол $30^\circ$.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, большее основание $AD = 12$ см, а меньшее основание $BC = 4$ см. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

В условии сказано, что диагонали трапеции являются биссектрисами её тупых углов. В равнобокой трапеции с $AD > BC$ тупыми являются углы при меньшем основании, то есть $\angle ABC$ и $\angle BCD$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая является биссектрисой угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как два его угла ($\angle ACD$ и $\angle CAD$) равны, то он является равнобедренным, и стороны, лежащие против этих углов, равны: $CD = AD$.Поскольку $AD = 12$ см, то и боковая сторона $CD = 12$ см. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD = 12$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы — трапеции $ABCD$:$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = 12 + 4 + 12 + 12 = 40$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы. Чтобы найти $H$, воспользуемся условием об угле между диагональю призмы и боковым ребром.

Пусть $A'C$ — диагональ призмы, а $CC'$ — боковое ребро. Так как призма прямая, боковое ребро $CC'$ перпендикулярно основанию $A'B'C'D'$, а значит, и диагонали верхнего основания $A'C'$. Следовательно, треугольник $A'C'C$ — прямоугольный ($\angle A'C'C = 90^\circ$).

Угол между диагональю призмы $A'C$ и боковым ребром $CC'$ — это угол $\angle A'CC'$, и по условию он равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $A'C'C$ катет $A'C'$ (равный диагонали основания $AC$) и катет $CC'$ (равный высоте призмы $H$) связаны соотношением:$\tan(\angle A'CC') = \frac{A'C'}{CC'}$$\tan(30^\circ) = \frac{AC}{H}$Отсюда $H = \frac{AC}{\tan(30^\circ)} = \frac{AC}{1/\sqrt{3}} = AC \cdot \sqrt{3}$.

Теперь найдем длину диагонали основания $AC$. Для этого опустим из вершины $C$ высоту $CE$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $ED$ равна полуразности оснований:$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$. Найдем косинус угла $D$:$\cos(\angle D) = \frac{ED}{CD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ACD$, чтобы найти длину стороны $AC$:$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3}$$AC^2 = 144 + 144 - \frac{288}{3} = 288 - 96 = 192$$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длину диагонали основания $AC$, мы можем найти высоту призмы $H$:$H = AC \cdot \sqrt{3} = (8\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 40 \cdot 24 = 960$ см$^2$.

Ответ: $960$ см$^2$.

160. Основание прямой призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен $2\sqrt{2}$ см. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты основания равны: $AC = BC = 2\sqrt{2}$ см.

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками. Так как катеты основания $AC$ и $BC$ равны, то боковые грани $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ также равны.

Из одной вершины основания, например $C$, проведены диагонали равных боковых граней. Это диагонали $A_1C$ и $B_1C$. По условию, угол между ними $\angle A_1CB_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $A_1CB_1$. Его стороны $A_1C$ и $B_1C$ являются диагоналями равных прямоугольников $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Следовательно, эти диагонали равны: $A_1C = B_1C$. Это означает, что треугольник $A_1CB_1$ — равнобедренный.

Так как в равнобедренном треугольнике $A_1CB_1$ угол при вершине $\angle A_1CB_1 = 60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Значит, все его стороны равны: $A_1C = B_1C = A_1B_1$.

Сторона $A_1B_1$ этого треугольника является гипотенузой верхнего основания призмы. Найдем длину гипотенузы $AB$ нижнего основания (которая равна $A_1B_1$) по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$ см.

Из равностороннего треугольника $A_1CB_1$ следует, что длина диагонали боковой грани $A_1C$ равна длине $A_1B_1$ (и $AB$):
$A_1C = AB = 4$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H = CC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Его катеты — это $AC = 2\sqrt{2}$ и $CC_1 = H$, а гипотенуза — $A_1C = 4$. По теореме Пифагора:
$A_1C^2 = AC^2 + H^2$
$4^2 = (2\sqrt{2})^2 + H^2$
$16 = 8 + H^2$
$H^2 = 16 - 8 = 8$
$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$).
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Сначала найдем периметр основания:
$P_{осн} = AC + BC + AB = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (4\sqrt{2} + 4) \cdot H = (4\sqrt{2} + 4) \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot 2 + 8\sqrt{2} = 16 + 8\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $16 + 8\sqrt{2}$ см$^2$.

161. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — $3\sqrt{6}$ см. Через боковую сторону основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $45^\circ$.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$. По условию, основание треугольника $AC = 12$ см, а боковые стороны $AB = BC = 3\sqrt{6}$ см.

Секущая плоскость проходит через боковую сторону основания, например $BC$, и пересекает противоположное боковое ребро $AA_1$ в некоторой точке $K$. Таким образом, сечением является треугольник $KBC$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры через косинус угла между их плоскостями. В данном случае, треугольник $ABC$ (основание призмы) является ортогональной проекцией треугольника $KBC$ (сечения) на плоскость основания.

Формула, связывающая площадь сечения ($S_{сеч}$) и площадь его проекции ($S_{пр}$), выглядит так: $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

В нашей задаче $S_{пр} = S_{ABC}$, $S_{сеч} = S_{KBC}$, а угол $\alpha = 45^\circ$. Следовательно, площадь сечения можно найти по формуле: $S_{сеч} = \frac{S_{ABC}}{\cos(45^\circ)}$

1. Найдем площадь основания призмы — треугольника $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой. Значит, точка $H$ — середина $AC$. $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 - 6^2} = \sqrt{9 \cdot 6 - 36} = \sqrt{54 - 36} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ см².

2. Найдем площадь сечения.

Используем найденную площадь основания и данный угол: $S_{сеч} = \frac{S_{ABC}}{\cos(45^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 18 \cdot 2 = 36$ см².

Ответ: 36 см².

162. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 8 см. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через большую диагональ основания параллельно меньшей диагонали призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Диагонали ромба равны $d_1 = AC = 12$ см и $d_2 = BD = 8$ см. Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $h$ равна длине бокового ребра ($h=AA_1$).

Сначала определим, какая из двух диагоналей призмы, $AC_1$ или $BD_1$, является меньшей. Длины диагоналей призмы связаны с диагоналями основания и высотой призмы соотношениями:$AC_1^2 = AC^2 + h^2 = 12^2 + h^2 = 144 + h^2$$BD_1^2 = BD^2 + h^2 = 8^2 + h^2 = 64 + h^2$Поскольку $144 > 64$, то $AC_1^2 > BD_1^2$, и, следовательно, $AC_1 > BD_1$. Таким образом, меньшая диагональ призмы — это $BD_1$.

По условию, меньшая диагональ призмы $BD_1$ образует с плоскостью основания угол $60°$. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$ является диагональ ромба $BD$. Следовательно, угол между $BD_1$ и плоскостью основания — это $\angle D_1BD = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$ (угол $\angle BDD_1 = 90°$, так как призма прямая). В этом треугольнике катет $BD = 8$ см, а катет $DD_1 = h$. Высоту призмы $h$ можно найти из этого треугольника:$h = DD_1 = BD \cdot \tan(\angle D_1BD) = 8 \cdot \tan(60°) = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь построим сечение. Плоскость сечения проходит через большую диагональ основания $AC$ и параллельна меньшей диагонали призмы $BD_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). Поскольку призма прямая, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AC$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) плоскости $BDD_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей этой плоскости.

Плоскость сечения содержит прямую $AC$ и параллельна прямой $BD_1$. Проведем через точку $O$ (которая лежит на $AC$ и, следовательно, в плоскости сечения) прямую, параллельную $BD_1$. Эта прямая будет лежать в плоскости сечения. Так как $O$ и $BD_1$ лежат в плоскости $BDD_1B_1$, то и построенная прямая лежит в этой плоскости. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $K$. Тогда сечением является треугольник $ACK$.

Найдем площадь этого треугольника. Основание треугольника — диагональ $AC = 12$ см. Высотой, проведенной к этому основанию, является отрезок $OK$, поскольку $OK$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$, а $AC$ перпендикулярна этой плоскости.Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Точка $O$ — середина стороны $BD$. Отрезок $OK$ проведен параллельно стороне $BD_1$. По свойству подобных треугольников ($\triangle DOK \sim \triangle DBD_1$), $K$ является серединой стороны $DD_1$, а длина отрезка $OK$ равна половине длины стороны $BD_1$: $OK = \frac{1}{2}BD_1$.

Найдем длину диагонали $BD_1$ из прямоугольного треугольника $BDD_1$ по теореме Пифагора:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256$$BD_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь можем найти длину высоты сечения $OK$:$OK = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Наконец, вычисляем площадь сечения (треугольника $ACK$):$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

163. Через диагональ основания правильной четырёхугольной призмы со стороной основания $b$ проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол $\beta$ и пересекает боковое ребро призмы в его середине. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $b$. Пусть высота призмы равна $H$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Периметр квадрата со стороной $b$ равен $P_{осн} = 4b$. Таким образом, $S_{бок} = 4bH$. Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо определить высоту призмы $H$.

Согласно условию, через диагональ основания, например $AC$, проведена плоскость. Эта плоскость пересекает боковое ребро в его середине. Пусть секущая плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$, которая является его серединой. Так как боковые грани призмы параллельны, то плоскость сечения пересечет противолежащее ребро $BB_1$ также в его середине, в точке $N$. Таким образом, сечением является четырехугольник $AMCN$.

Угол между секущей плоскостью ($AMCN$) и плоскостью основания ($ABCD$) по условию равен $\beta$. Этот угол является двугранным углом, образованным плоскостями, с ребром $AC$. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то $DO \perp AC$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Он является равнобедренным, поскольку $AM = CM$ (как гипотенузы равных прямоугольных треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle CDM$). Отрезок $MO$ является медианой в равнобедренном треугольнике $\triangle AMC$, проведенной к основанию $AC$, а значит, и высотой: $MO \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle MOD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MOD = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOD$. Так как призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $DO$. Следовательно, треугольник $\triangle MOD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MDO$.

В этом треугольнике катет $MD$ равен половине высоты призмы: $MD = \frac{H}{2}$. Катет $DO$ равен половине диагонали основания $BD$. Длина диагонали квадрата со стороной $b$ равна $d = b\sqrt{2}$. Таким образом, $DO = \frac{1}{2}BD = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $\triangle MOD$ имеем:$\tan(\angle MOD) = \frac{MD}{DO}$$\tan\beta = \frac{H/2}{b\sqrt{2}/2} = \frac{H}{b\sqrt{2}}$

Выразим из этого уравнения высоту призмы $H$:$H = b\sqrt{2}\tan\beta$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 4bH = 4b \cdot (b\sqrt{2}\tan\beta) = 4\sqrt{2}b^2\tan\beta$

Ответ: $4\sqrt{2}b^2\tan\beta$.