Номер 159, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 12 см, а диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с боковым ребром угол $30^\circ$.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, большее основание $AD = 12$ см, а меньшее основание $BC = 4$ см. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

В условии сказано, что диагонали трапеции являются биссектрисами её тупых углов. В равнобокой трапеции с $AD > BC$ тупыми являются углы при меньшем основании, то есть $\angle ABC$ и $\angle BCD$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая является биссектрисой угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как два его угла ($\angle ACD$ и $\angle CAD$) равны, то он является равнобедренным, и стороны, лежащие против этих углов, равны: $CD = AD$.Поскольку $AD = 12$ см, то и боковая сторона $CD = 12$ см. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD = 12$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы — трапеции $ABCD$:$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = 12 + 4 + 12 + 12 = 40$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы. Чтобы найти $H$, воспользуемся условием об угле между диагональю призмы и боковым ребром.

Пусть $A'C$ — диагональ призмы, а $CC'$ — боковое ребро. Так как призма прямая, боковое ребро $CC'$ перпендикулярно основанию $A'B'C'D'$, а значит, и диагонали верхнего основания $A'C'$. Следовательно, треугольник $A'C'C$ — прямоугольный ($\angle A'C'C = 90^\circ$).

Угол между диагональю призмы $A'C$ и боковым ребром $CC'$ — это угол $\angle A'CC'$, и по условию он равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $A'C'C$ катет $A'C'$ (равный диагонали основания $AC$) и катет $CC'$ (равный высоте призмы $H$) связаны соотношением:$\tan(\angle A'CC') = \frac{A'C'}{CC'}$$\tan(30^\circ) = \frac{AC}{H}$Отсюда $H = \frac{AC}{\tan(30^\circ)} = \frac{AC}{1/\sqrt{3}} = AC \cdot \sqrt{3}$.

Теперь найдем длину диагонали основания $AC$. Для этого опустим из вершины $C$ высоту $CE$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $ED$ равна полуразности оснований:$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$. Найдем косинус угла $D$:$\cos(\angle D) = \frac{ED}{CD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ACD$, чтобы найти длину стороны $AC$:$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3}$$AC^2 = 144 + 144 - \frac{288}{3} = 288 - 96 = 192$$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длину диагонали основания $AC$, мы можем найти высоту призмы $H$:$H = AC \cdot \sqrt{3} = (8\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 40 \cdot 24 = 960$ см$^2$.

Ответ: $960$ см$^2$.