Номер 162, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 8 см. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через большую диагональ основания параллельно меньшей диагонали призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Диагонали ромба равны $d_1 = AC = 12$ см и $d_2 = BD = 8$ см. Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $h$ равна длине бокового ребра ($h=AA_1$).

Сначала определим, какая из двух диагоналей призмы, $AC_1$ или $BD_1$, является меньшей. Длины диагоналей призмы связаны с диагоналями основания и высотой призмы соотношениями:$AC_1^2 = AC^2 + h^2 = 12^2 + h^2 = 144 + h^2$$BD_1^2 = BD^2 + h^2 = 8^2 + h^2 = 64 + h^2$Поскольку $144 > 64$, то $AC_1^2 > BD_1^2$, и, следовательно, $AC_1 > BD_1$. Таким образом, меньшая диагональ призмы — это $BD_1$.

По условию, меньшая диагональ призмы $BD_1$ образует с плоскостью основания угол $60°$. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$ является диагональ ромба $BD$. Следовательно, угол между $BD_1$ и плоскостью основания — это $\angle D_1BD = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$ (угол $\angle BDD_1 = 90°$, так как призма прямая). В этом треугольнике катет $BD = 8$ см, а катет $DD_1 = h$. Высоту призмы $h$ можно найти из этого треугольника:$h = DD_1 = BD \cdot \tan(\angle D_1BD) = 8 \cdot \tan(60°) = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь построим сечение. Плоскость сечения проходит через большую диагональ основания $AC$ и параллельна меньшей диагонали призмы $BD_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). Поскольку призма прямая, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AC$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) плоскости $BDD_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей этой плоскости.

Плоскость сечения содержит прямую $AC$ и параллельна прямой $BD_1$. Проведем через точку $O$ (которая лежит на $AC$ и, следовательно, в плоскости сечения) прямую, параллельную $BD_1$. Эта прямая будет лежать в плоскости сечения. Так как $O$ и $BD_1$ лежат в плоскости $BDD_1B_1$, то и построенная прямая лежит в этой плоскости. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $K$. Тогда сечением является треугольник $ACK$.

Найдем площадь этого треугольника. Основание треугольника — диагональ $AC = 12$ см. Высотой, проведенной к этому основанию, является отрезок $OK$, поскольку $OK$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$, а $AC$ перпендикулярна этой плоскости.Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Точка $O$ — середина стороны $BD$. Отрезок $OK$ проведен параллельно стороне $BD_1$. По свойству подобных треугольников ($\triangle DOK \sim \triangle DBD_1$), $K$ является серединой стороны $DD_1$, а длина отрезка $OK$ равна половине длины стороны $BD_1$: $OK = \frac{1}{2}BD_1$.

Найдем длину диагонали $BD_1$ из прямоугольного треугольника $BDD_1$ по теореме Пифагора:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256$$BD_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь можем найти длину высоты сечения $OK$:$OK = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Наконец, вычисляем площадь сечения (треугольника $ACK$):$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.