Номер 160, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Основание прямой призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен $2\sqrt{2}$ см. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты основания равны: $AC = BC = 2\sqrt{2}$ см.

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками. Так как катеты основания $AC$ и $BC$ равны, то боковые грани $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ также равны.

Из одной вершины основания, например $C$, проведены диагонали равных боковых граней. Это диагонали $A_1C$ и $B_1C$. По условию, угол между ними $\angle A_1CB_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $A_1CB_1$. Его стороны $A_1C$ и $B_1C$ являются диагоналями равных прямоугольников $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Следовательно, эти диагонали равны: $A_1C = B_1C$. Это означает, что треугольник $A_1CB_1$ — равнобедренный.

Так как в равнобедренном треугольнике $A_1CB_1$ угол при вершине $\angle A_1CB_1 = 60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Значит, все его стороны равны: $A_1C = B_1C = A_1B_1$.

Сторона $A_1B_1$ этого треугольника является гипотенузой верхнего основания призмы. Найдем длину гипотенузы $AB$ нижнего основания (которая равна $A_1B_1$) по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$ см.

Из равностороннего треугольника $A_1CB_1$ следует, что длина диагонали боковой грани $A_1C$ равна длине $A_1B_1$ (и $AB$):
$A_1C = AB = 4$ см.

Теперь найдем высоту призмы $H = CC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Его катеты — это $AC = 2\sqrt{2}$ и $CC_1 = H$, а гипотенуза — $A_1C = 4$. По теореме Пифагора:
$A_1C^2 = AC^2 + H^2$
$4^2 = (2\sqrt{2})^2 + H^2$
$16 = 8 + H^2$
$H^2 = 16 - 8 = 8$
$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$).
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Сначала найдем периметр основания:
$P_{осн} = AC + BC + AB = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = (4\sqrt{2} + 4) \cdot H = (4\sqrt{2} + 4) \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot 2 + 8\sqrt{2} = 16 + 8\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $16 + 8\sqrt{2}$ см$^2$.