Номер 154, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 4 см и 6 см и углом $60^\circ$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем периметр основания призмы.
Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Периметр параллелограмма равен:$P_{осн} = 2(a+b) = 2(4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Найдем высоту призмы.
По условию, призма прямая, значит, ее боковые грани являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра.Рассмотрим боковую грань, содержащую большую сторону основания (сторону длиной 6 см). Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами 6 см и $h$.Диагональ этой грани, ее основание (сторона параллелограмма длиной 6 см) и боковое ребро (высота призмы $h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Один катет — это сторона основания, равная 6 см.
• Второй катет — это высота призмы $h$.
• Гипотенуза — это диагональ боковой грани.

Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Так как призма прямая, проекцией диагонали является сторона основания длиной 6 см.Таким образом, угол между катетом (стороной 6 см) и гипотенузой (диагональю) равен $30^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(30^\circ) = \frac{h}{6}$Отсюда находим высоту $h$:$h = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Теперь, зная периметр основания и высоту, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см².

Ответ: $40\sqrt{3}$ см².