Номер 150, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 16 см, а высота — $4\sqrt{3}$ см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Поскольку призма является прямой, её боковые грани перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы измеряется линейным углом, который является углом многоугольника в основании при соответствующей вершине. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, лежащей в основании призмы.

Рассмотрим основание призмы — равнобокую трапецию ABCD, где AD и BC — основания. По условию, большее основание $AD = 16$ см, меньшее основание $BC = 8$ см, а высота трапеции $h = 4\sqrt{3}$ см.

Проведём из вершин B и C высоты BH и CK к основанию AD. Образовавшийся четырёхугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см. Так как трапеция равнобокая, то треугольники ABH и DCK равны, а значит равны и отрезки $AH$ и $KD$.

Длину отрезка AH можно найти следующим образом:

$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где $\angle AHB = 90^\circ$. Нам известны длины катетов: $AH = 4$ см и $BH = h = 4\sqrt{3}$ см. Мы можем найти угол A (угол при большем основании трапеции), используя тангенс угла:

$\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Из этого соотношения находим, что $\angle A = 60^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при другом конце большего основания также равен $60^\circ$:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Отсюда можем найти углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Итак, углы трапеции в основании равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$. Следовательно, двугранные углы при боковых рёбрах призмы, соответствующие этим вершинам, равны этим же значениям.

Ответ: два двугранных угла равны $60^\circ$, и два других двугранных угла равны $120^\circ$.