Номер 145, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Ортогональной проекцией равнобокой трапеции на плоскость $\alpha$ является трапеция площадью $50 \text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции, если основания этой трапеции равны $5 \text{ см}$ и $15 \text{ см}$, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть $S$ - площадь данной равнобокой трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее ортогональной проекции. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью проекции обозначим как $\phi$. Связь между этими величинами выражается формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$Отсюда мы можем найти косинус искомого угла:$\cos(\phi) = \frac{S_{пр}}{S}$По условию, $S_{пр} = 50 \text{ см}^2$. Чтобы найти угол $\phi$, нам необходимо вычислить площадь исходной трапеции $S$.

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота.По условию, основания трапеции равны $a = 5$ см и $b = 15$ см. Найдем высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=15$ см и $BC=5$ см. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Тогда отрезок $AH$ равен:$AH = AD - HD = 15 - 5 = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ (так как $\angle ACD = 90^\circ$). $CH$ является его высотой, проведенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$CH^2 = AH \cdot HD$$h^2 = 10 \cdot 5 = 50$$h = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции $ABCD$:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{5+15}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{20}{2} \cdot 5\sqrt{2} = 10 \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Наконец, найдем искомый угол $\phi$:$\cos(\phi) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.