Страница 84 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Площадь ортогональной проекции многоугольника

140. Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна $18 \text{ см}^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $60^\circ$.

Для решения данной задачи используется теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Согласно этой теореме, площадь ортогональной проекции ($S_{пр}$) плоского многоугольника на плоскость равна произведению его собственной площади ($S$) на косинус угла ($\alpha$) между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула для расчета имеет следующий вид:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Площадь многоугольника $S = 18$ см².

Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции $\alpha = 60°$.

Найдем значение косинуса угла $60°$:

$\cos(60°) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу и вычислим площадь проекции:

$S_{пр} = 18 \cdot \cos(60°) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см².

Ответ: 9 см².

141. Площадь многоугольника равна $46\sqrt{2}$ см$^2$, а площадь его ортогональной проекции — $46$ см$^2$. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Для нахождения угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его ортогональной проекции используется формула, связывающая их площади:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

$S$ — площадь многоугольника,

$S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции,

$\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

$S = 46\sqrt{2}$ см²

$S_{пр} = 46$ см²

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $\cos(\alpha)$:

$46 = 46\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$, разделив обе части на $46\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{46}{46\sqrt{2}}$

Сократим дробь на 46:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Значение $\frac{1}{\sqrt{2}}$ также можно записать как $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем угол $\alpha$, косинус которого равен этому значению. Угол между плоскостями по определению находится в пределах от 0° до 90°.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный равнобедренный треугольник $A_1B_1C_1$ с гипотенузой $12$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см$^2$.

Пусть $S$ - это площадь треугольника $ABC$, а $S_{пр}$ - площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью проекции обозначим как $\alpha$.

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость вычисляется по формуле:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ составляет $S = 72 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь проекции - прямоугольного равнобедренного треугольника $A_1B_1C_1$. Его гипотенуза равна $c = 12 \text{ см}$.Пусть катеты этого треугольника равны $a$. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного равнобедренного треугольника:$a^2 + a^2 = c^2$$2a^2 = 12^2$$2a^2 = 144$$a^2 = 72$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{пр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$Подставим найденное значение $a^2$:$S_{пр} = \frac{1}{2} \cdot 72 = 36 \text{ см}^2$

Теперь мы можем вычислить косинус угла $\alpha$, используя площади исходного треугольника и его проекции:$\cos(\alpha) = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

Угол между плоскостями, соответствующий этому значению косинуса, равен:$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$.

143. Площадь четырёхугольника равна $180 \text{ см}^2$. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является параллелограмм, одна из сторон которого равна $12 \text{ см}$, а угол между сторонами — $60^\circ$. Найдите неизвестную сторону параллелограмма, если угол между плоскостью данного четырёхугольника и плоскостью его проекции равен $30^\circ$.

Пусть $S$ - площадь исходного четырехугольника, а $S_{пр}$ - площадь его ортогональной проекции, которая является параллелограммом. Угол между плоскостью четырехугольника и плоскостью проекции обозначим как $\phi$.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Это выражается формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$

По условию задачи дано:
- Площадь четырехугольника $S = 180 \text{ см}^2$.
- Угол между плоскостями $\phi = 30^\circ$.

Используя эти данные, найдем площадь параллелограмма (проекции):$S_{пр} = 180 \cdot \cos(30^\circ) = 180 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Площадь параллелограмма также можно найти по формуле через две его стороны и угол между ними:$S_{пр} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$,где $a$ и $b$ - стороны параллелограмма, а $\alpha$ - угол между ними.

Из условия мы знаем:
- Одна из сторон параллелограмма $a = 12 \text{ см}$.
- Угол между сторонами $\alpha = 60^\circ$.
- Площадь параллелограмма, как мы вычислили, $S_{пр} = 90\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Пусть $b$ - неизвестная сторона. Подставим известные значения в формулу площади параллелограмма, чтобы составить уравнение:$90\sqrt{3} = 12 \cdot b \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$90\sqrt{3} = 12 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим выражение в правой части:$90\sqrt{3} = 6 \cdot b \cdot \sqrt{3}$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на $6\sqrt{3}$:$b = \frac{90\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}$$b = 15 \text{ см}$

Таким образом, неизвестная сторона параллелограмма равна 15 см.

Ответ: 15 см.

144. Площадь треугольника $ABC$ равна $75 \text{ см}^2$. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является треугольник $A_1B_1C_1$ со сторонами 8 см, 18 см и 20 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его ортогональной проекции $A_1B_1C_1$. Площадь ортогональной проекции многоугольника связана с площадью исходного многоугольника формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$,где $S$ — площадь исходного многоугольника, а $S_{пр}$ — площадь его проекции.

В нашем случае, $S = S_{ABC} = 75 \text{ см}^2$, а $S_{пр} = S_{A_1B_1C_1}$. Чтобы найти угол $\alpha$, нам необходимо сначала вычислить площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Мы знаем его стороны: $a = 8$ см, $b = 18$ см, $c = 20$ см. Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона:$S_{A_1B_1C_1} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$ треугольника $A_1B_1C_1$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+18+20}{2} = \frac{46}{2} = 23$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1B_1C_1$:$S_{A_1B_1C_1} = \sqrt{23(23-8)(23-18)(23-20)} = \sqrt{23 \cdot 15 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{23 \cdot (3 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{23 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 3 \cdot 5 \sqrt{23} = 15\sqrt{23} \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$ между плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{15\sqrt{23}}{75} = \frac{\sqrt{23}}{5}$.

Отсюда, искомый угол равен:$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)$.

145. Ортогональной проекцией равнобокой трапеции на плоскость $\alpha$ является трапеция площадью $50 \text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции, если основания этой трапеции равны $5 \text{ см}$ и $15 \text{ см}$, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть $S$ - площадь данной равнобокой трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее ортогональной проекции. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью проекции обозначим как $\phi$. Связь между этими величинами выражается формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$Отсюда мы можем найти косинус искомого угла:$\cos(\phi) = \frac{S_{пр}}{S}$По условию, $S_{пр} = 50 \text{ см}^2$. Чтобы найти угол $\phi$, нам необходимо вычислить площадь исходной трапеции $S$.

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота.По условию, основания трапеции равны $a = 5$ см и $b = 15$ см. Найдем высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=15$ см и $BC=5$ см. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Тогда отрезок $AH$ равен:$AH = AD - HD = 15 - 5 = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ (так как $\angle ACD = 90^\circ$). $CH$ является его высотой, проведенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$CH^2 = AH \cdot HD$$h^2 = 10 \cdot 5 = 50$$h = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции $ABCD$:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{5+15}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{20}{2} \cdot 5\sqrt{2} = 10 \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Наконец, найдем искомый угол $\phi$:$\cos(\phi) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Призма

146. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей:

1) 21 грань;

2) 24 ребра?

1)

Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник. Число граней любой $n$-угольной призмы складывается из двух оснований (верхнего и нижнего) и $n$ боковых граней. Таким образом, общее количество граней $F$ можно найти по формуле:

$F = n + 2$

По условию, призма имеет 21 грань. Подставим это значение в формулу и найдем $n$:

$21 = n + 2$

$n = 21 - 2$

$n = 19$

Следовательно, в основании призмы лежит девятнадцатиугольник.

Ответ: девятнадцатиугольник.

2)

Пусть в основании призмы снова лежит $n$-угольник. Число ребер любой $n$-угольной призмы складывается из ребер верхнего основания ($n$ ребер), ребер нижнего основания ($n$ ребер) и боковых ребер, соединяющих вершины оснований ($n$ ребер). Таким образом, общее количество ребер $E$ можно найти по формуле:

$E = n + n + n = 3n$

По условию, призма имеет 24 ребра. Подставим это значение в формулу и найдем $n$:

$24 = 3n$

$n = 24 / 3$

$n = 8$

Следовательно, в основании призмы лежит восьмиугольник.

Ответ: восьмиугольник.

147. Существует ли призма, имеющая 28 рёбер?

Для любой призмы количество рёбер связано с количеством сторон многоугольника, лежащего в её основании. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. Тогда у этой призмы есть два основания, каждое из которых имеет по $n$ рёбер, и $n$ боковых рёбер, которые соединяют вершины оснований.

Таким образом, общее количество рёбер $E$ у n-угольной призмы вычисляется по формуле:

$E = n_{нижнее основание} + n_{верхнее основание} + n_{боковые рёбра} = n + n + n = 3n$

Из формулы видно, что общее количество рёбер у любой призмы должно быть кратно трём.

Проверим, выполняется ли это условие для числа 28. Для этого нужно выяснить, существует ли такое целое число $n$ (где $n \ge 3$, так как многоугольник должен иметь хотя бы 3 стороны), что:

$3n = 28$

Решим уравнение:

$n = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$

Полученное значение $n$ не является целым числом. Это означает, что не существует многоугольника с таким количеством сторон. Следовательно, не существует и призмы с 28 рёбрами.

Ответ: нет, не существует.