Страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Из точки D, не принадлежащей плоскости треугольника ABC ($ \angle ABC = 90^\circ $), опущен перпендикуляр DO на плоскость ABC (рис. 93). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки D на прямую BC.

Рис. 93

Для построения перпендикуляра из точки D, не принадлежащей плоскости треугольника ABC, на прямую BC, используется теорема о трех перпендикулярах.

Теоретическое обоснование и построение

Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В условиях нашей задачи:

• $DO$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$ (по условию).
• Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$.
• Искомый перпендикуляр из точки $D$ на прямую $BC$ будет являться наклонной к плоскости $(ABC)$. Обозначим его $DK$, где $K$ — точка на прямой $BC$.
• Отрезок $OK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме, чтобы наклонная $DK$ была перпендикулярна прямой $BC$ (т.е. $DK \perp BC$), необходимо, чтобы ее проекция $OK$ была перпендикулярна прямой $BC$ (т.е. $OK \perp BC$).

Таким образом, алгоритм построения искомого перпендикуляра следующий:

1. Из точки $O$ (основание перпендикуляра, опущенного из $D$ на плоскость) в плоскости $(ABC)$ строим перпендикуляр к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$.
2. Соединяем точку $D$ с полученной точкой $K$ отрезком.

Отрезок $DK$ является искомым перпендикуляром из точки $D$ на прямую $BC$.

Применение к ситуации на Рис. 93

В задаче дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что катет $AB$ перпендикулярен катету $BC$ ($AB \perp BC$).

На рисунке 93 показан частный случай, когда точка $O$ — основание перпендикуляра $DO$ — лежит на катете $AB$.

В этой ситуации, при выполнении построения:

• Нам нужно опустить перпендикуляр из точки $O$ на прямую $BC$.
• Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AB$, а прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, то таким перпендикуляром будет отрезок $OB$.
• Следовательно, точка $K$ (основание перпендикуляра из $O$ на $BC$) совпадает с точкой $B$.
• Соединяя точку $D$ с точкой $B$, получаем отрезок $DB$, который и является перпендикуляром из точки $D$ на прямую $BC$.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки $D$ на прямую $BC$, необходимо из точки $O$ опустить перпендикуляр $OK$ на прямую $BC$. Отрезок $DK$ будет искомым перпендикуляром.

100. Через вершину прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $BK$ длиной 7 см. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если $AC = 8\sqrt{2}$ см, $\angle BAC = 45^{\circ}$.

По условию, дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Через вершину $B$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $BK$ длиной 7 см. Это означает, что отрезок $BK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$.

Требуется найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к прямой $AC$. Таким образом, $KH \perp AC$, и длина отрезка $KH$ является искомым расстоянием.

Рассмотрим связь между отрезками $BK$, $BH$ и $KH$.

• $BK$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $KH$ — наклонная, проведенная из точки $K$ к прямой $AC$.
• $BH$ — проекция наклонной $KH$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KH$) перпендикулярна прямой ($AC$), то и ее проекция ($BH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $BH \perp AC$. Это означает, что $BH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

Найдем длину высоты $BH$. В треугольнике $ABC$ нам известно: $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle BAC = 45^\circ$ и гипотенуза $AC = 8\sqrt{2}$ см. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA$), треугольник $ABC$ является равнобедренным, а значит, катеты $AB$ и $BC$ равны. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой. Следовательно, она делит гипотенузу пополам, и ее длина равна половине гипотенузы: $BH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $KBH$. Так как $BK \perp (ABC)$, то $BK$ перпендикулярен отрезку $BH$, лежащему в этой плоскости. Значит, $\angle KBH = 90^\circ$, и треугольник $KBH$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известны длины катетов:

• $BK = 7$ см (по условию).
• $BH = 4\sqrt{2}$ см (вычислено выше).

Искомое расстояние $KH$ является гипотенузой треугольника $KBH$. Найдем ее по теореме Пифагора: $KH^2 = BK^2 + BH^2$ $KH^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2$ $KH^2 = 49 + 16 \cdot 2$ $KH^2 = 49 + 32$ $KH^2 = 81$ $KH = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

101. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 12 см. Через центр $O$ треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр $OM$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если расстояние от точки $M$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ равно $2\sqrt{7}$ см.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см. Точка $O$ — центр треугольника. $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, значит, $OM \perp (ABC)$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ — это и есть длина отрезка $OM$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Пусть $H$ — точка на стороне $AC$. Тогда расстояние от точки $M$ до стороны $AC$ — это длина отрезка $MH$, перпендикулярного $AC$. По условию, $MH = 2\sqrt{7}$ см. Аналогичные расстояния до сторон $AB$ и $BC$ также равны $2\sqrt{7}$ см.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Так как $OM \perp (ABC)$, а отрезок $OH$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $OM \perp OH$. Следовательно, треугольник $OMH$ является прямоугольным с прямым углом $MOH$.

По теореме о трех перпендикулярах: так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MH$ — наклонная, а $OH$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$, и при этом наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AC$ ($MH \perp AC$), то и ее проекция $OH$ перпендикулярна этой прямой ($OH \perp AC$).

Таким образом, отрезок $OH$ — это расстояние от центра равностороннего треугольника $O$ до его стороны $AC$. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной в треугольник окружности.

Найдем радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a = 12$ см по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$OH = r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $OMH$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$MH^2 = OM^2 + OH^2$

Отсюда можем выразить искомый отрезок $OM$:

$OM^2 = MH^2 - OH^2$

Подставим известные значения $MH = 2\sqrt{7}$ см и $OH = 2\sqrt{3}$ см:

$OM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 7) - (4 \cdot 3) = 28 - 12 = 16$

$OM = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 4 см.

Ответ: 4 см.

102. Через вершину C равнобедренного треугольника ABC к его плоскости проведён перпендикуляр FC (рис. 94). Найдите расстояние от точки F до прямой AB, если $AC = BC = m$, $\angle ACB = \alpha$, $FC = b$.

Рис. 94

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на прямую $AB$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $FH$.

По условию, прямая $FC$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ ($FC \perp (ABC)$). Отрезок $FH$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $CH$ — ее проекцией на эту плоскость.

Поскольку $FH \perp AB$ по построению, то по теореме о трех перпендикулярах, проекция $CH$ также перпендикулярна прямой $AB$, то есть $CH \perp AB$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $CH$ является высотой, проведенной к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AC = BC = m$, то высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также биссектрисой угла $\angle ACB$.

Следовательно, $\angle ACH = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle CHA = 90^{\circ}$). Из определения косинуса: $CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = m \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Так как $FC \perp (ABC)$, то $FC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. В частности, $FC \perp CH$. Таким образом, треугольник $FCH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

По теореме Пифагора для треугольника $FCH$: $FH^2 = FC^2 + CH^2$

Подставим известные значения $FC = b$ и $CH = m \cos(\frac{\alpha}{2})$: $FH^2 = b^2 + (m \cos(\frac{\alpha}{2}))^2 = b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда находим искомое расстояние $FH$: $FH = \sqrt{b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\sqrt{b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведён перпендикуляр $OM$ к его плоскости. Найдите расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если $AB = 6$ см, $AD = 12$ см, $OM = 4$ см, площадь параллелограмма равна $48$ см$^2$.

Пусть $h_1$ - высота параллелограмма, проведенная к стороне $AD$, а $h_2$ - высота, проведенная к стороне $AB$. Площадь параллелограмма можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = a \cdot h_a$.

Поскольку $OM$ перпендикулярен плоскости параллелограмма $(ABCD)$, расстояние от точки $M$ до любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, до сторон параллелограмма), можно найти с помощью теоремы о трех перпендикулярах. Если $OK$ - перпендикуляр из точки $O$ к стороне параллелограмма, то $MK$ будет перпендикуляром к этой же стороне, а его длина найдется из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2}$.

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма, поэтому расстояние от точки $O$ до одной из сторон равно половине соответствующей высоты.

1. Найдем высоту $h_1$, проведенную к стороне $AD$:$S_{ABCD} = AD \cdot h_1$$48 = 12 \cdot h_1$$h_1 = \frac{48}{12} = 4$ см.

2. Найдем расстояние от точки $O$ до прямой $AD$. Оно равно половине высоты $h_1$. Обозначим это расстояние $d_1$.$d_1 = \frac{h_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, которое обозначим $L_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного отрезками $OM$, $d_1$ и $L_1$:$L_1^2 = OM^2 + d_1^2$$L_1^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$L_1 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Так как стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равноудалены от точки $O$, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ также равно $2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

1. Найдем высоту $h_2$, проведенную к стороне $AB$:$S_{ABCD} = AB \cdot h_2$$48 = 6 \cdot h_2$$h_2 = \frac{48}{6} = 8$ см.

2. Найдем расстояние от точки $O$ до прямой $AB$. Оно равно половине высоты $h_2$. Обозначим это расстояние $d_2$.$d_2 = \frac{h_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, которое обозначим $L_2$. По теореме Пифагора:$L_2^2 = OM^2 + d_2^2$$L_2^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$$L_2 = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равноудалены от точки $O$, расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ также равно $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $M$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{5}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

Пусть $ABC$ – данный треугольник со сторонами $AB = 13$ см, $BC = 14$ см и $AC = 15$ см. В треугольник вписана окружность с центром в точке $O$. Точка $O$ является инцентром треугольника, то есть точкой пересечения его биссектрис, и она равноудалена от всех сторон треугольника. Расстояние от инцентра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

По условию, через точку $O$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $MO$ является перпендикуляром из точки $M$ к плоскости $ABC$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $M$ до плоскости, то есть $MO = 2\sqrt{5}$ см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $K$, $L$, $N$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $ON \perp AC$. При этом $OK = OL = ON = r$.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. У нас есть перпендикуляр $MO$ к плоскости $ABC$ и наклонная $MK$ к этой плоскости. Проекцией наклонной $MK$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OK$. Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AB$ (лежащей в плоскости), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, длина отрезка $MK$ является расстоянием от точки $M$ до стороны $AB$.

Аналогично, расстояния от точки $M$ до сторон $BC$ и $AC$ равны длинам отрезков $ML$ и $MN$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (углы при вершине $O$ прямые, так как $MO \perp (ABC)$). У этих треугольников катет $MO$ – общий, а катеты $OK$, $OL$, $ON$ равны между собой как радиусы вписанной окружности. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, а значит, равны и их гипотенузы: $MK = ML = MN$.

Таким образом, точка $M$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$. Найдем это расстояние, вычислив длину $MK$ по теореме Пифагора из треугольника $\triangle MOK$:$MK^2 = MO^2 + OK^2 = (2\sqrt{5})^2 + r^2$.

Для этого сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

4. Подставим найденное значение $r$ в формулу для $MK$:$MK = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 16} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6$ см.

Следовательно, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ равно 6 см.
Ответ: 6 см.