Страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 12 см и 16 см, а сумма длин наклонных — 56 см. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены две наклонные AB и AC к этой плоскости. AO — перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость α. Тогда отрезки OB и OC являются проекциями наклонных AB и AC на плоскость α соответственно. Треугольники ΔAOB и ΔAOC являются прямоугольными, так как AO перпендикулярен любой прямой в плоскости α, проходящей через точку O.

Обозначим длины наклонных как $l_1$ и $l_2$, а длины их проекций как $p_1 = 12$ см и $p_2 = 16$ см. Длину общего перпендикуляра AO обозначим как $h$.

По условию задачи, сумма длин наклонных равна 56 см:
$l_1 + l_2 = 56$

Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников ΔAOB и ΔAOC, получаем два уравнения:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 \implies l_1^2 = h^2 + 12^2 = h^2 + 144$
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 \implies l_2^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$

Выразим $h^2$ из каждого уравнения:
$h^2 = l_1^2 - 144$
$h^2 = l_2^2 - 256$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$l_1^2 - 144 = l_2^2 - 256$

Перенесем члены с наклонными в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$l_2^2 - l_1^2 = 256 - 144$
$l_2^2 - l_1^2 = 112$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(l_2 - l_1)(l_2 + l_1) = 112$

Из условия мы знаем, что $l_1 + l_2 = 56$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(l_2 - l_1) \cdot 56 = 112$

Отсюда найдем разность длин наклонных:
$l_2 - l_1 = \frac{112}{56}$
$l_2 - l_1 = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$l_2 + l_1 = 56$
$l_2 - l_1 = 2$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $l_2$:
$(l_2 + l_1) + (l_2 - l_1) = 56 + 2$
$2l_2 = 58$
$l_2 = \frac{58}{2} = 29$ (см)

Теперь подставим значение $l_2$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $l_1$. Например, в первое:
$l_1 + 29 = 56$
$l_1 = 56 - 29 = 27$ (см)

Длины наклонных составляют 27 см и 29 см.

Ответ: 27 см и 29 см.

86. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$, $CB = CD$ (рис. 90). Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости четырёхугольника. Докажите, что $\angle DMC = \angle BMC$.

Рис. 90

Для доказательства равенства углов $\angle DMC$ и $\angle BMC$ необходимо доказать равенство треугольников, в которые они входят, то есть $\triangle DMC$ и $\triangle BMC$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAD$.

По условию задачи, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости четырехугольника $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$ и $MA \perp AD$.

Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$ ($\angle MAB = \angle MAD = 90^\circ$).

Сравним эти прямоугольные треугольники: у них катет $MA$ — общий, а катеты $AB$ и $AD$ равны по условию ($AB = AD$). Таким образом, $\triangle MAB = \triangle MAD$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, их гипотенуз: $MB = MD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MDC$. Сравним их стороны:
1. $CB = CD$ (по условию);
2. $MB = MD$ (доказано выше);
3. $MC$ — общая сторона.

Так как все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\triangle MBC = \triangle MDC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle MBC$ и $\triangle MDC$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BMC$ лежит напротив стороны $BC$, а угол $\angle DMC$ лежит напротив равной ей стороны $DC$. Следовательно, $\angle BMC = \angle DMC$.

Ответ: Утверждение доказано.

87. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MO$, $MB = \sqrt{43}$ см, $MO = 4$ см, $AB = 3\sqrt{7}$ см, $\angle AOB = 150^\circ$. Найдите наклонную $MA$.

Поскольку $MO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то отрезок $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $O$ ($\angle MOA = 90^\circ$ и $\angle MOB = 90^\circ$).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOB$. Используя теорему Пифагора ($MB^2 = MO^2 + OB^2$), найдем длину проекции $OB$ наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$.
$OB^2 = MB^2 - MO^2 = (\sqrt{43})^2 - 4^2 = 43 - 16 = 27$
$OB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, который лежит в плоскости $\alpha$. В этом треугольнике нам известны сторона $AB = 3\sqrt{7}$ см, сторона $OB = 3\sqrt{3}$ см и угол между сторонами $OA$ и $OB$, который равен $\angle AOB = 150^\circ$. Мы можем найти длину стороны $OA$ с помощью теоремы косинусов:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
Обозначим длину $OA$ через $x$ и подставим известные значения в формулу:
$(3\sqrt{7})^2 = x^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$
Значение косинуса $150^\circ$ равно $\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$63 = x^2 + 27 - 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$63 = x^2 + 27 + (6\sqrt{3}x) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$63 = x^2 + 27 + \frac{6 \cdot 3 \cdot x}{2}$
$63 = x^2 + 27 + 9x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 9x + 27 - 63 = 0$
$x^2 + 9x - 36 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям: $x_1 \cdot x_2 = -36$ и $x_1 + x_2 = -9$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-12$. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы заключаем, что $OA = 3$ см.

3. Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$. Зная длины катетов $MO = 4$ см и $OA = 3$ см, мы можем найти длину гипотенузы $MA$ (искомой наклонной) по теореме Пифагора:
$MA^2 = MO^2 + OA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$MA = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

88. Точка K находится на расстоянии 17 см от каждой вершины квадрата и на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите сторону квадрата.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, а $K$ — точка, находящаяся вне его плоскости.

Расстояние от точки $K$ до плоскости квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. По условию, длина этого перпендикуляра $KO = 8$ см, и $KO \perp (ABCD)$.

Также по условию, точка $K$ находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины квадрата. Это означает, что наклонные, проведенные из точки $K$ к вершинам квадрата, равны: $KA = KB = KC = KD = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KAO$, $\triangle KBO$, $\triangle KCO$ и $\triangle KDO$. Они прямоугольные, так как $KO$ перпендикулярен плоскости квадрата, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. У этих треугольников:

• Общий катет $KO$.
• Равные гипотенузы $KA = KB = KC = KD = 17$ см.

Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$.

Точка $O$ в плоскости квадрата, равноудаленная от всех его вершин, является центром квадрата, то есть точкой пересечения его диагоналей. Таким образом, отрезок $OA$ является половиной диагонали квадрата.

Найдем длину отрезка $OA$ из прямоугольного треугольника $\triangle KAO$ по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $KA^2 = KO^2 + OA^2$ Подставим известные значения: $17^2 = 8^2 + OA^2$ $289 = 64 + OA^2$ $OA^2 = 289 - 64$ $OA^2 = 225$ $OA = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длину всей диагонали квадрата, например, $AC$. Так как $O$ — середина диагонали, то: $d = AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Диагональ квадрата связана с его стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Выразим сторону $a$: $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $a = \frac{30 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ см.

Ответ: $15\sqrt{2}$ см.

89. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Точка $M$ находится на расстоянии 39 см от каждой из его вершин. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$.

Пусть O - проекция точки M на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок MO является расстоянием от точки M до плоскости ABC. По определению, $MO \perp (ABC)$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. У них общая катет MO. По условию, точка M находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника, то есть $MA = MB = MC = 39$ см. Эти отрезки являются гипотенузами в указанных треугольниках.

Поскольку катет MO общий, а гипотенузы $MA$, $MB$, $MC$ равны, то и вторые катеты этих треугольников равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ - это радиусы этой окружности (R).

1. Найдем радиус R описанной окружности треугольника ABC.

Для этого воспользуемся обобщенной теоремой синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ - сторона треугольника, а $\alpha$ - противолежащий ей угол. Сначала найдем сторону AC по теореме косинусов.

В $\triangle ABC$ известно $AB = BC = 15$ см и $\angle ABC = 120^{\circ}$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^{\circ})$

Поскольку $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$, то:

$AC^2 = 225 + 225 - 450 \cdot (-\frac{1}{2}) = 450 + 225 = 675$

$AC = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус R описанной окружности:

$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)}$

Поскольку $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$R = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

Таким образом, $OA = 15$ см.

2. Найдем расстояние от точки M до плоскости ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$. В нем:

• Гипотенуза $MA = 39$ см (по условию).
• Катет $OA = R = 15$ см (найдено выше).
• Катет $MO$ - искомое расстояние.

По теореме Пифагора:

$MA^2 = MO^2 + OA^2$

$MO^2 = MA^2 - OA^2$

$MO^2 = 39^2 - 15^2$

Используем формулу разности квадратов:

$MO^2 = (39 - 15)(39 + 15) = 24 \cdot 54 = 1296$

$MO = \sqrt{1296} = 36$ см.

Ответ: 36 см.

90. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $AC$. Расстояние между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$ равно $2\sqrt{10}$ см, а проекции отрезков $AB$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ равны $3$ см и $2\sqrt{26}$ см соответственно. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если диагональ $AC$ равна $14$ см.

Обозначим через $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ ортогональные проекции вершин параллелограмма $A, B, C, D$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $X$ до плоскости $\alpha$ обозначим как $h_X$.

Согласно условию задачи:

• Вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, её проекция совпадает с самой точкой ($B' = B$), а расстояние до плоскости равно нулю ($h_B = 0$).
• Плоскость $\alpha$ параллельна диагонали $AC$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Это расстояние дано и равно $2\sqrt{10}$ см. Таким образом, $h_A = h_C = 2\sqrt{10}$ см.
• Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $A'B' = A'B = 3$ см.
• Длина проекции отрезка $BD$ на плоскость $\alpha$ равна $B'D' = BD' = 2\sqrt{26}$ см.
• Длина диагонали $AC$ равна 14 см.

1. Найдем длину стороны $AB$.

Длина отрезка в пространстве связана с длиной его проекции и разностью высот его концов над плоскостью по теореме Пифагора. Для отрезка $AB$ имеем:

$AB^2 = (A'B)^2 + (h_A - h_B)^2$

Подставим известные значения:

$AB^2 = 3^2 + (2\sqrt{10} - 0)^2 = 9 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

2. Найдем расстояние от вершины $D$ до плоскости $\alpha$.

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$. Это векторное равенство справедливо и для координат, в частности для аппликат (расстояний до плоскости):

$h_A + h_C = h_B + h_D$

Подставим известные значения:

$2\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 0 + h_D$

$h_D = 4\sqrt{10}$ см.

3. Найдем длину диагонали $BD$.

Аналогично нахождению стороны $AB$, используем теорему Пифагора для отрезка $BD$:

$BD^2 = (BD')^2 + (h_D - h_B)^2$

Подставим известные и найденные значения:

$BD^2 = (2\sqrt{26})^2 + (4\sqrt{10} - 0)^2 = (4 \cdot 26) + (16 \cdot 10) = 104 + 160 = 264$

4. Найдем сторону $BC$ параллелограмма.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Подставим известные значения длин $AC$, $BD$ и $AB$:

$14^2 + 264 = 2(7^2 + BC^2)$

$196 + 264 = 2(49 + BC^2)$

$460 = 2(49 + BC^2)$

$230 = 49 + BC^2$

$BC^2 = 230 - 49 = 181$

$BC = \sqrt{181}$ см.

Ответ: $\sqrt{181}$ см.