Страница 74 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) проведена прямая $MB$, перпендикулярная его плоскости (рис. 86). Точка $M$ соединена с серединой $F$ стороны $AC$. Найдите отрезок $MF$, если $MB = 8$ см, $\angle BMC = 60^\circ$, $\angle ACB = 30^\circ$.

Поскольку прямая $MB$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $MB \perp BC$ и $MB \perp BF$. Это означает, что треугольники $MBC$ и $MBF$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ ($∠MBC = 90^\circ$). Из условия задачи нам известно, что $MB = 8$ см и $∠BMC = 60^\circ$. Мы можем найти длину катета $BC$, используя тангенс угла $BMC$:
$tg(∠BMC) = \frac{BC}{MB}$
$BC = MB \cdot tg(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$). Точка $F$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BF$ перпендикулярен $AC$ ($BF \perp AC$), и треугольник $BFC$ является прямоугольным ($∠BFC = 90^\circ$).
В прямоугольном треугольнике $BFC$ нам известна гипотенуза $BC = 8\sqrt{3}$ см и угол $∠BCF = ∠ACB = 30^\circ$. Найдем длину катета $BF$, используя синус угла $BCF$:
$sin(∠BCF) = \frac{BF}{BC}$
$BF = BC \cdot sin(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $MBF$ ($∠MBF = 90^\circ$). Нам известны длины его катетов: $MB = 8$ см и $BF = 4\sqrt{3}$ см. Мы можем найти длину гипотенузы $MF$, применив теорему Пифагора:
$MF^2 = MB^2 + BF^2$
$MF^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112$
$MF = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.

71. Сторона квадрата $ABCD$ равна 6 см. Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата проведена прямая $SO$, перпендикулярная его плоскости. Найдите отрезок $SO$, если $\angle SAO = 60^\circ$.

Рассмотрим квадрат ABCD. Сторона квадрата равна 6 см. Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

1. Найдем длину диагонали квадрата AC. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $a = 6$ см, следовательно, диагональ AC равна: $AC = 6\sqrt{2}$ см.

2. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок AO равен половине диагонали AC: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. По условию, прямая SO перпендикулярна плоскости квадрата (ABCD). Это означает, что SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $SO \perp AO$. Таким образом, треугольник $\triangle SAO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOA = 90^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ нам известны катет $AO = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SAO = 60^\circ$. Мы ищем длину противолежащего катета SO. Для этого воспользуемся определением тангенса угла: $\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO}$

Выразим отсюда SO: $SO = AO \cdot \tan(\angle SAO)$

Подставим известные значения $AO = 3\sqrt{2}$ и $\angle SAO = 60^\circ$: $SO = 3\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ)$

Так как значение $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем: $SO = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

72. Через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $MC$, перпендикулярная прямым $BC$ и $AC$. Докажите, что $MC \perp CD$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его вершины $A, B, C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $(ABC)$. В этой плоскости, в частности, лежат прямые $BC$, $AC$ (диагональ) и $CD$.

По условию задачи, прямая $MC$ перпендикулярна прямой $BC$ и прямой $AC$. Это можно записать как $MC \perp BC$ и $MC \perp AC$.

Прямые $BC$ и $AC$ лежат в плоскости $(ABC)$ и пересекаются в точке $C$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Так как прямая $MC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $C$ прямым $BC$ и $AC$, которые лежат в плоскости $(ABC)$, то прямая $MC$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. То есть, $MC \perp (ABC)$.

Прямая $CD$ является стороной прямоугольника $ABCD$ и, следовательно, также лежит в плоскости $(ABC)$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следовательно, так как $MC \perp (ABC)$ и прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $MC \perp CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $MC \perp CD$, доказано.

73. На рисунке 87 изображён квадрат ABCD, $MC \perp BC$. Укажите прямую и плоскость, которые являются перпендикулярными.

Рис. 87

Для того чтобы найти перпендикулярные прямую и плоскость, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Рассмотрим прямую $BC$ и плоскость $(MCD)$, которая проходит через точки M, C и D.

1. В условии сказано, что $ABCD$ — это квадрат. По свойству квадрата, все его углы равны $90^\circ$, а значит, его смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, сторона $BC$ перпендикулярна стороне $CD$. Математически это записывается как $BC \perp CD$.

2. Также из условия задачи нам дано, что прямая $MC$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $MC \perp BC$.

3. Прямые $CD$ и $MC$ обе лежат в плоскости $(MCD)$ и пересекаются в точке $C$.

Таким образом, мы имеем прямую $BC$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $MC$), лежащим в плоскости $(MCD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, из этого следует, что прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(MCD)$.

Ответ: Прямая $BC$ и плоскость $(MCD)$.

74. На рисунке 88 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что четырёхугольник $AA_1 C_1 C$ — прямоугольник.

Рис. 88

Для доказательства того, что четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником, необходимо показать, что он является параллелограммом и что один из его углов прямой.

1. Рассмотрим стороны $AA_1$ и $CC_1$ четырехугольника $AA_1C_1C$.
По определению куба, все его боковые ребра равны и параллельны друг другу. Ребра $AA_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами куба, следовательно, $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, $AA_1C_1C$ — параллелограмм.

2. Рассмотрим угол $\angle A_1AC$.
По свойству куба, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.
Диагональ $AC$ основания $ABCD$ лежит в этой плоскости.
По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AC$.

Следовательно, угол между $AA_1$ и $AC$ прямой: $\angle A_1AC = 90^\circ$.

3. Мы установили, что $AA_1C_1C$ является параллелограммом, и один из его углов, $\angle A_1AC$, равен $90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, четырехугольник $AA_1C_1C$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником.

75. Точка $M$ лежит вне плоскости прямоугольника $ABCD$, $MA = MB = MC = MD$, $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Докажите, что прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Дано:

$ABCD$ — прямоугольник.
$M$ — точка вне плоскости $(ABC)$.
$MA = MB = MC = MD$.
$O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Доказать:

$MO \perp (ABC)$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. По условию $MA = MC$, следовательно, треугольник $\triangle AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. По свойству диагоналей прямоугольника, они точкой пересечения делятся пополам, значит, $AO = OC$. Следовательно, отрезок $MO$ является медианой треугольника $\triangle AMC$, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, $MO \perp AC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BMD$. По условию $MB = MD$, следовательно, треугольник $\triangle BMD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

Так как $O$ — точка пересечения диагоналей, то $BO = OD$. Значит, $MO$ является медианой треугольника $\triangle BMD$, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике $\triangle BMD$ медиана $MO$ является и высотой, поэтому $MO \perp BD$.

3. Итак, мы доказали, что прямая $MO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости прямоугольника $ABC$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

76. Через точки $A$ и $B$, не принадлежащие плоскости $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные этой плоскости и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что если отрезки $AA_1$ и $BB_1$ равны, то четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник.

Для доказательства того, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольником, нужно показать, что это параллелограмм, у которого есть прямой угол.

1. По условию задачи прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Согласно свойству стереометрии, если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны друг другу. Следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.

2. Рассмотрим четырёхугольник $AA_1B_1B$. Мы выяснили, что его стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны. Кроме того, по условию их длины равны: $AA_1 = BB_1$. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

3. По условию, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку пересечения $A_1$. Точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат плоскости $\alpha$, поэтому прямая $A_1B_1$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp A_1B_1$. Это означает, что угол $\angle AA_1B_1$ — прямой, то есть $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$.

4. Мы доказали, что $AA_1B_1B$ — это параллелограмм, у которого есть прямой угол ($\angle AA_1B_1$). По определению, параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Таким образом, четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.