Страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости ABC. Через центр O квадрата проведена прямая NO, параллельная прямой BM. Найдите расстояние от точки N до вершин квадрата, если $AB = 4\sqrt{2}$ см, $NO = 3$ см.

По условию, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$. Прямая $NO$ проведена через центр квадрата $O$ параллельно прямой $BM$. Из этого следует, что прямая $NO$ также перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$.

Это означает, что отрезок $NO$ является перпендикуляром от точки $N$ к плоскости $ABC$. Следовательно, для нахождения расстояний от точки $N$ до вершин квадрата ($NA$, $NB$, $NC$ и $ND$) мы можем рассмотреть прямоугольные треугольники $\triangle NOA$, $\triangle NOB$, $\triangle NOC$ и $\triangle NOD$, где катетами являются $NO$ и отрезки, соединяющие центр квадрата с его вершинами ($OA$, $OB$, $OC$, $OD$).

Сначала найдем длину диагонали квадрата $ABCD$. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $AB = BC = 4\sqrt{2}$ см. $AC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 2) + (16 \cdot 2) = 32 + 32 = 64$ см$^2$. $AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Центр квадрата $O$ является точкой пересечения его диагоналей, которые в точке пересечения делятся пополам. Диагонали квадрата равны, поэтому расстояния от центра до всех вершин одинаковы: $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь мы можем найти искомые расстояния, которые являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle NOA$, $\triangle NOB$, $\triangle NOC$ и $\triangle NOD$. Длины катетов известны: $NO = 3$ см и $OA = OB = OC = OD = 4$ см.

По теореме Пифагора: $NA^2 = NO^2 + OA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $NA = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ равны, то и расстояния от точки $N$ до вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ также будут равны: $NA = NB = NC = ND = 5$ см.

Ответ: расстояние от точки $N$ до каждой из вершин квадрата равно 5 см.

78. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$, точка $D$ — середина $AC$, точка $E$ — середина $AB$, точка $F$ — середина $BC$. Прямая $PD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, $BP = 2\sqrt{61} \text{ см}$. Найдите угол между прямыми $EF$ и $PC$.

Поскольку точки E и F являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, то отрезок EF является его средней линией. По свойству средней линии $EF \parallel AC$. Угол между скрещивающимися прямыми EF и PC равен углу между параллельной EF прямой AC и прямой PC. Таким образом, искомый угол равен углу $\angle PCA$ в треугольнике PAC.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 13$ см. D — середина основания AC, поэтому $AD = DC = \frac{1}{2}AC = \frac{10}{2} = 5$ см. Медиана BD, проведенная к основанию, является также высотой, следовательно, $BD \perp AC$. Из прямоугольного треугольника BDA по теореме Пифагора найдем длину BD:$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

По условию, прямая PD перпендикулярна плоскости ABC, а значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку D. Следовательно, $PD \perp BD$. Треугольник PDB — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину PD:$PD^2 = BP^2 - BD^2 = (2\sqrt{61})^2 - 12^2 = 4 \cdot 61 - 144 = 244 - 144 = 100$.$PD = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как $PD \perp$ плоскости ABC, то $PD \perp AC$, а значит $PD \perp DC$. Треугольник PDC является прямоугольным с прямым углом D. Найдем длину гипотенузы PC по теореме Пифагора:$PC^2 = PD^2 + DC^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$.$PC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем искомый угол $\angle PCA$. В прямоугольном треугольнике PDC косинус этого угла равен отношению прилежащего катета DC к гипотенузе PC:$\cos(\angle PCA) = \frac{DC}{PC} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.Отсюда, искомый угол равен $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 89 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость: 1) $A_1B_1C_1$; 2) $ADD_1$; 3) $ABB_1$.

Рис. 89

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Чтобы найти проекцию точки на плоскость, необходимо опустить из этой точки перпендикуляр на данную плоскость. Основание этого перпендикуляра и будет являться проекцией точки.

Рассмотрим отрезок $A_1C$ и его проекции на заданные плоскости.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость верхнего основания куба $A_1B_1C_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $A_1B_1C_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - куб, то ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, точка $C_1$ является проекцией точки $C$ на плоскость $A_1B_1C_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1C_1$.

Ответ: $A_1C_1$.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость боковой грани $ADD_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $ADD_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $ADD_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. В кубе ребро $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $ADD_1$: $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$. Следовательно, ребро $CD$ перпендикулярно всей плоскости $ADD_1$. Значит, точка $D$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ADD_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $ADD_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1D$.

Ответ: $A_1D$.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость передней грани $ABB_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABB_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $ABB_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. В кубе ребро $CB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $ABB_1$: $CB \perp AB$ и $CB \perp BB_1$. Следовательно, ребро $CB$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1$. Значит, точка $B$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ABB_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $ABB_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1B$.

Ответ: $A_1B$.

80. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 10 см и наклонная. Найдите длину наклонной, если длина её проекции на данную плоскость равна 6 см.

Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, наклонная, проведенная из той же точки, и проекция этой наклонной на плоскость образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катетами являются перпендикуляр и проекция наклонной, а гипотенузой — сама наклонная.

По условию задачи, длина одного катета (перпендикуляра) равна 10 см, а длина второго катета (проекции) — 6 см. Найдем длину гипотенузы (наклонной), используя теорему Пифагора. Пусть искомая длина наклонной будет $L$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$L^2 = 10^2 + 6^2$
$L^2 = 100 + 36$
$L^2 = 136$

Чтобы найти длину наклонной, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$L = \sqrt{136}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $L = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$ см.

Ответ: $2\sqrt{34}$ см.

81. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 8 см и наклонная. Угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость равен $60^{\circ}$. Найдите длины наклонной и её проекции.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Тогда AH — это длина перпендикуляра, AB — длина наклонной, а HB — длина проекции наклонной на плоскость. По условию, длина перпендикуляра $AH = 8$ см. Угол между наклонной и её проекцией — это угол $\angle ABH$, и он равен $60^\circ$.

Так как AH — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H. Следовательно, $AH \perp HB$. Это означает, что треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H ($\angle AHB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ нам известны катет AH (противолежащий углу $60^\circ$) и угол $\angle ABH = 60^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу AB (длину наклонной) и катет HB (длину проекции).

Для нахождения длины наклонной (гипотенузы AB) воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим AB:

$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)}$

Подставим известные значения $AH = 8$ см и $\angle ABH = 60^\circ$. Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AB = \frac{8}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$AB = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Для нахождения длины проекции (катета HB) воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{HB}$

Отсюда выразим HB:

$HB = \frac{AH}{\tan(\angle ABH)}$

Подставим известные значения $AH = 8$ см и $\angle ABH = 60^\circ$. Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.

$HB = \frac{8}{\tan(60^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$HB = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

82. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DB$ и $DC$, $DB = 10\sqrt{10}$ см, $DC = 30$ см. Проекция наклонной $DB$ на плоскость $\alpha$ равна 26 см. Найдите проекцию наклонной $DC$.

Пусть $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $DH$ является расстоянием от точки $D$ до плоскости $\alpha$. По определению, отрезок $HB$ является проекцией наклонной $DB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — проекцией наклонной $DC$ на ту же плоскость.

Поскольку $DH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $\triangle DHB$ и $\triangle DHC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHB$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $DB^2 = DH^2 + HB^2$.

Из этой формулы мы можем выразить и найти квадрат длины перпендикуляра $DH$, используя данные из условия задачи: длина наклонной $DB = 10\sqrt{10}$ см и длина ее проекции $HB = 26$ см.

$DH^2 = DB^2 - HB^2 = (10\sqrt{10})^2 - 26^2 = 100 \cdot 10 - 676 = 1000 - 676 = 324$.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $\triangle DHC$. Для него также справедлива теорема Пифагора: $DC^2 = DH^2 + HC^2$.

Нам необходимо найти длину проекции $HC$. Выразим квадрат ее длины из формулы: $HC^2 = DC^2 - DH^2$.

Подставим известные значения: длину наклонной $DC = 30$ см и найденное ранее значение $DH^2 = 324$.

$HC^2 = 30^2 - 324 = 900 - 324 = 576$.

Чтобы найти длину $HC$, извлечем квадратный корень из полученного значения: $HC = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

83. Из точки $F$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $FM$ и $FN$ и перпендикуляр $FK$. Найдите наклонные $FM$ и $FN$, если $MK = 4$ см, $\angle FMK = 30^\circ$, $\angle NFK = 60^\circ$.

Поскольку $FK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $FM$ и $FN$ — наклонные, то отрезки $MK$ и $NK$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\alpha$. Треугольники $\Delta FMK$ и $\Delta FNK$ являются прямоугольными, так как $FK \perp \alpha$, а значит $FK$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $K$ ($\angle FKM = 90^\circ$ и $\angle FKN = 90^\circ$).

Найдем наклонную FM
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta FMK$. В нем известен катет $MK = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle FMK = 30^\circ$. Наклонная $FM$ является гипотенузой. Найдем ее длину, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе):
$cos(\angle FMK) = \frac{MK}{FM}$
Выразим из формулы $FM$:
$FM = \frac{MK}{cos(30^\circ)}$
Подставим известные значения ($cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$FM = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $FM = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Найдем наклонную FN
Для нахождения длины $FN$ необходимо сначала найти длину перпендикуляра $FK$. Найдем $FK$ из треугольника $\Delta FMK$. $FK$ — это катет, противолежащий углу $\angle FMK$. Используем определение тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему):
$tan(\angle FMK) = \frac{FK}{MK}$
Выразим из формулы $FK$:
$FK = MK \cdot tan(30^\circ)$
Подставим известные значения ($tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):
$FK = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta FNK$. В нем известен катет $FK = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle NFK = 60^\circ$. Наклонная $FN$ является гипотенузой. Найдем ее длину, используя определение косинуса:
$cos(\angle NFK) = \frac{FK}{FN}$
Выразим из формулы $FN$:
$FN = \frac{FK}{cos(60^\circ)}$
Подставим известные значения ($cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$):
$FN = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 2 = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $FN = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

84. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MB$ и $MA$, длины которых относятся как 5 : 7. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных $MB$ и $MA$ на эту плоскость равны 12 см и $12\sqrt{2}$ см.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость α. Тогда искомое расстояние от точки M до плоскости α есть длина отрезка MH. Обозначим $MH = h$.

Отрезки MA и MB — наклонные к плоскости α, а отрезки HA и HB — их проекции на эту плоскость. Треугольники ΔMHA и ΔMHB являются прямоугольными с прямым углом при вершине H.

По условию, длины наклонных относятся как $5:7$, то есть $MB : MA = 5:7$. Пусть $MB = 5x$ и $MA = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (наклонная) всегда больше катета (проекции). Также, для наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости, большей наклонной соответствует большая проекция.

Сравним длины проекций: $12$ см и $12\sqrt{2}$ см. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $12\sqrt{2} > 12$.

Так как $MA = 7x > MB = 5x$, то наклонной MA соответствует проекция $HA = 12\sqrt{2}$ см, а наклонной MB соответствует проекция $HB = 12$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ΔMHB и ΔMHA:

• Из ΔMHB: $MB^2 = MH^2 + HB^2 \implies (5x)^2 = h^2 + 12^2 \implies 25x^2 = h^2 + 144$
• Из ΔMHA: $MA^2 = MH^2 + HA^2 \implies (7x)^2 = h^2 + (12\sqrt{2})^2 \implies 49x^2 = h^2 + 144 \cdot 2 \implies 49x^2 = h^2 + 288$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $h$ и $x$: $$ \begin{cases} 25x^2 = h^2 + 144 \\ 49x^2 = h^2 + 288 \end{cases} $$

Выразим $h^2$ из первого уравнения: $h^2 = 25x^2 - 144$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$49x^2 = (25x^2 - 144) + 288$

$49x^2 = 25x^2 + 144$

$49x^2 - 25x^2 = 144$

$24x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{24} = 6$

Теперь найдем $h^2$, подставив значение $x^2$ в выражение для $h^2$:

$h^2 = 25x^2 - 144 = 25 \cdot 6 - 144 = 150 - 144 = 6$

Следовательно, искомое расстояние $h = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.