Номер 79, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 89 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость: 1) $A_1B_1C_1$; 2) $ADD_1$; 3) $ABB_1$.

Рис. 89

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Чтобы найти проекцию точки на плоскость, необходимо опустить из этой точки перпендикуляр на данную плоскость. Основание этого перпендикуляра и будет являться проекцией точки.

Рассмотрим отрезок $A_1C$ и его проекции на заданные плоскости.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость верхнего основания куба $A_1B_1C_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $A_1B_1C_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - куб, то ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, точка $C_1$ является проекцией точки $C$ на плоскость $A_1B_1C_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1C_1$.

Ответ: $A_1C_1$.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость боковой грани $ADD_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $ADD_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $ADD_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. В кубе ребро $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $ADD_1$: $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$. Следовательно, ребро $CD$ перпендикулярно всей плоскости $ADD_1$. Значит, точка $D$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ADD_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $ADD_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1D$.

Ответ: $A_1D$.

Найдем проекцию отрезка $A_1C$ на плоскость передней грани $ABB_1$.
Проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABB_1$ является сама точка $A_1$, так как она принадлежит этой плоскости.
Для нахождения проекции точки $C$ на плоскость $ABB_1$ опустим перпендикуляр из точки $C$ на эту плоскость. В кубе ребро $CB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $ABB_1$: $CB \perp AB$ и $CB \perp BB_1$. Следовательно, ребро $CB$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1$. Значит, точка $B$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ABB_1$.
Таким образом, проекцией отрезка $A_1C$ на плоскость $ABB_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $A_1B$.

Ответ: $A_1B$.