gdz.top
Номер 86, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Перпендикуляр и наклонная - номер 86, страница 76.
№85
№86 (с. 76)
Условие. №86 (с. 76)
86. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = AD$, $CB = CD$ (рис. 90). Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости четырёхугольника. Докажите, что $\angle DMC = \angle BMC$.
Рис. 90
Решение. №86 (с. 76)
Решение 2. №86 (с. 76)
Для доказательства равенства углов $\angle DMC$ и $\angle BMC$ необходимо доказать равенство треугольников, в которые они входят, то есть $\triangle DMC$ и $\triangle BMC$.
Сначала рассмотрим треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAD$.
По условию задачи, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости четырехугольника $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$ и $MA \perp AD$.
Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$ ($\angle MAB = \angle MAD = 90^\circ$).
Сравним эти прямоугольные треугольники: у них катет $MA$ — общий, а катеты $AB$ и $AD$ равны по условию ($AB = AD$). Таким образом, $\triangle MAB = \triangle MAD$ по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, их гипотенуз: $MB = MD$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MDC$. Сравним их стороны:
1. $CB = CD$ (по условию);
2. $MB = MD$ (доказано выше);
3. $MC$ — общая сторона.
Так как все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\triangle MBC = \triangle MDC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Из равенства треугольников $\triangle MBC$ и $\triangle MDC$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BMC$ лежит напротив стороны $BC$, а угол $\angle DMC$ лежит напротив равной ей стороны $DC$. Следовательно, $\angle BMC = \angle DMC$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 86 расположенного на странице 76 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №86 (с. 76), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.