Номер 92, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. На рисунке 91 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Рис. 91

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть одна из вершин куба находится в начале координат $O(0,0,0)$, а ребра куба длиной $a$ лежат на осях координат. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:

• Вершины нижнего основания: $(0,0,0)$, $(a,0,0)$, $(0,a,0)$, $(a,a,0)$.
• Вершины верхнего основания: $(0,0,a)$, $(a,0,a)$, $(0,a,a)$, $(a,a,a)$.

1. Определение координат точек A и B.

Точка $A$ — центр нижнего основания. Координаты центра квадрата равны полусуммам координат его противоположных вершин. Например, для вершин $(0,0,0)$ и $(a,a,0)$:$A = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $B$ — центр верхнего основания. Аналогично, для вершин $(0,0,a)$ и $(a,a,a)$:$B = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

2. Определение координат точек C и D.

Согласно рисунку, точка $C$ является вершиной нижнего основания, а точка $D$ — вершиной верхнего основания. Линия $CD$ изображена как одна из главных диагоналей куба (пространственная диагональ).

Выберем координаты для точек $C$ и $D$ в соответствии с рисунком. Пусть $C$ — вершина на нижнем основании, например, $C(a,0,0)$. Тогда диагонально противоположная ей вершина на верхнем основании будет $D(0,a,a)$.

3. Анализ положения прямых AB и CD.

Прямая $AB$ соединяет центры верхнего и нижнего оснований. Найдем ее параметрическое уравнение. Направляющий вектор прямой $AB$:$\vec{v}_{AB} = B - A = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a - 0\right) = (0, 0, a)$.

Прямая $CD$ является пространственной диагональю куба. Найдем ее параметрическое уравнение. Направляющий вектор прямой $CD$:$\vec{v}_{CD} = D - C = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$.

Найдем геометрический центр куба. Его координаты равны полусуммам координат любых двух противоположных вершин, например, $(0,0,0)$ и $(a,a,a)$, что дает точку $P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Проверим, принадлежит ли центр куба каждой из прямых.

• Для прямой $AB$: Точка $P$ является серединой отрезка $AB$: $\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) = \left(\frac{a/2+a/2}{2}, \frac{a/2+a/2}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Следовательно, центр куба лежит на прямой $AB$.
• Для прямой $CD$: Точка $P$ также является серединой отрезка $CD$: $\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}, \frac{z_C+z_D}{2}\right) = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Следовательно, центр куба лежит на прямой $CD$.

4. Нахождение расстояния.

Поскольку обе прямые, $AB$ и $CD$, проходят через одну и ту же точку — центр куба $P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$, — они пересекаются. Расстояние между пересекающимися прямыми по определению равно нулю.

Ответ: Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $0$.