Номер 96, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Через основание $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см. Найдите расстояние между прямой $BC$ и прямой, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, если $BC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. По условию, $AB = AC = 10$ см, $BC = 12$ см. Через основание $BC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 4 см.

Обозначим прямую, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, как прямую $l$. Нам нужно найти расстояние между прямой $BC$ и прямой $l$. Эти прямые являются скрещивающимися, так как $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $l$ пересекает эту плоскость и не параллельна $BC$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

1. Найдем высоту треугольника $ABC$.
Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $AM$ является также и медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $BC$, и $AM \perp BC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (где $\angle AMB = 90^\circ$). Катет $BM$ равен половине основания $BC$:
$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем длину высоты (и медианы) $AM$:
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Построим общий перпендикуляр.
Пусть $A'$ — это проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $AA'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $\alpha$, то есть $AA' = 4$ см. Прямая $l$, о которой говорится в условии, — это прямая, содержащая отрезок $AA'$.
Рассмотрим наклонную $AM$ к плоскости $\alpha$ и ее проекцию $A'M$ на эту плоскость (точка $M$ лежит на прямой $BC$, которая принадлежит плоскости $\alpha$).
Мы знаем, что высота $AM \perp BC$. Так как наклонная ($AM$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости проекции, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция ($A'M$) также перпендикулярна этой прямой ($BC$). Таким образом, $A'M \perp BC$.
Кроме того, поскольку $AA' \perp \alpha$, то $AA'$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A'$, в частности $AA' \perp A'M$.
Итак, отрезок $A'M$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым: $A'M \perp BC$ и $A'M \perp AA'$ (прямой $l$). Следовательно, длина отрезка $A'M$ и есть искомое расстояние.

3. Вычислим искомое расстояние.
Рассмотрим треугольник $AA'M$. Так как $AA' \perp A'M$, этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой $AM$.
Мы знаем длины гипотенузы $AM = 8$ см и катета $AA' = 4$ см. Найдем длину второго катета $A'M$ по теореме Пифагора:
$A'M^2 = AM^2 - AA'^2$
$A'M^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$
$A'M = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.