Номер 97, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 4 см. Найдите расстояние между прямыми $A_1C$ и $BB_1$.

По условию, нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным 4 см. Необходимо найти расстояние между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $BB_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Также это расстояние равно расстоянию от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим прямую $BB_1$ и плоскость диагонального сечения $ACC_1A_1$.

1. Прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$, так как $ABB_1A_1$ — грань куба, являющаяся квадратом.

2. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

3. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1A_1$.

4. Прямая $A_1C$ полностью лежит в плоскости $ACC_1A_1$, так как точки $A_1$ и $C$ принадлежат этой плоскости.

Из этого следует, что искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $BB_1$ равно расстоянию от прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали перпендикулярны, то есть $BO \perp AC$.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $BB_1$ || $AA_1$, то и ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$. Отсюда следует, что $AA_1 \perp BO$.

Мы получили, что прямая $BO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.

Следовательно, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Найдем длину $BO$. $BO$ — это половина диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=4$ см.

Длину диагонали $BD$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то:
$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $A_1C$ и $BB_1$ равно $2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.