Номер 99, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Из точки D, не принадлежащей плоскости треугольника ABC ($ \angle ABC = 90^\circ $), опущен перпендикуляр DO на плоскость ABC (рис. 93). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки D на прямую BC.

Рис. 93

Для построения перпендикуляра из точки D, не принадлежащей плоскости треугольника ABC, на прямую BC, используется теорема о трех перпендикулярах.

Теоретическое обоснование и построение

Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В условиях нашей задачи:

• $DO$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$ (по условию).
• Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$.
• Искомый перпендикуляр из точки $D$ на прямую $BC$ будет являться наклонной к плоскости $(ABC)$. Обозначим его $DK$, где $K$ — точка на прямой $BC$.
• Отрезок $OK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме, чтобы наклонная $DK$ была перпендикулярна прямой $BC$ (т.е. $DK \perp BC$), необходимо, чтобы ее проекция $OK$ была перпендикулярна прямой $BC$ (т.е. $OK \perp BC$).

Таким образом, алгоритм построения искомого перпендикуляра следующий:

1. Из точки $O$ (основание перпендикуляра, опущенного из $D$ на плоскость) в плоскости $(ABC)$ строим перпендикуляр к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$.
2. Соединяем точку $D$ с полученной точкой $K$ отрезком.

Отрезок $DK$ является искомым перпендикуляром из точки $D$ на прямую $BC$.

Применение к ситуации на Рис. 93

В задаче дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что катет $AB$ перпендикулярен катету $BC$ ($AB \perp BC$).

На рисунке 93 показан частный случай, когда точка $O$ — основание перпендикуляра $DO$ — лежит на катете $AB$.

В этой ситуации, при выполнении построения:

• Нам нужно опустить перпендикуляр из точки $O$ на прямую $BC$.
• Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AB$, а прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, то таким перпендикуляром будет отрезок $OB$.
• Следовательно, точка $K$ (основание перпендикуляра из $O$ на $BC$) совпадает с точкой $B$.
• Соединяя точку $D$ с точкой $B$, получаем отрезок $DB$, который и является перпендикуляром из точки $D$ на прямую $BC$.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки $D$ на прямую $BC$, необходимо из точки $O$ опустить перпендикуляр $OK$ на прямую $BC$. Отрезок $DK$ будет искомым перпендикуляром.