Номер 106, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $MB$. Прямая, проходящая через точку $M$ и середину отрезка $AC$, делит угол $AMC$ пополам. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, через вершину $B$ проведен перпендикуляр $MB$ к плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ и проходящей через точку $B$. В частности, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Следовательно, треугольники $MBA$ и $MBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

Обозначим середину отрезка $AC$ точкой $K$. По условию, прямая, проходящая через точки $M$ и $K$ (то есть прямая $MK$), делит угол $AMC$ пополам. Это значит, что $MK$ является биссектрисой угла $AMC$ в треугольнике $AMC$.

Рассмотрим треугольник $AMC$.

1. $MK$ — биссектриса угла $AMC$ (по условию).

2. $K$ — середина стороны $AC$, следовательно $AK = KC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника (теоремой о биссектрисе), которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $AMC$ и биссектрисы $MK$ это свойство записывается так:

$\frac{MA}{MC} = \frac{AK}{KC}$

Так как $K$ — середина $AC$, то $AK = KC$. Следовательно, отношение $\frac{AK}{KC} = 1$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$\frac{MA}{MC} = 1$, откуда следует, что $MA = MC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $MBA$ и $MBC$.

1. Катет $MB$ — общий для обоих треугольников.

2. Гипотенуза $MA$ треугольника $MBA$ равна гипотенузе $MC$ треугольника $MBC$ (как мы доказали выше).

Поскольку прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе, то $ΔMBA \cong ΔMBC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае нас интересуют катеты $AB$ и $BC$.

$AB = BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны ($AB$ и $BC$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.