gdz.top
Номер 109, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Угол между прямой и плоскостью - номер 109, страница 79.
№108
№109 (с. 79)
Условие. №109 (с. 79)
Угол между прямой и плоскостью
109. Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Найдите расстояние от конца наклонной до этой плоскости, если длина наклонной равна $\sqrt{18}$ см.
Решение. №109 (с. 79)
Решение 2. №109 (с. 79)
Пусть дана плоскость $\alpha$ и наклонная $AB$, где точка $A$ лежит в плоскости, а точка $B$ находится вне ее. Длина наклонной $AB = \sqrt{18}$ см. Угол между наклонной и плоскостью по условию равен $45^\circ$.
Расстояние от конца наклонной (точки $B$) до плоскости — это длина перпендикуляра $BH$, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ является основанием этого перпендикуляра и лежит в плоскости $\alpha$. Отрезок $AH$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.
Треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости, а значит, и к прямой $AH$, лежащей в этой плоскости ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- $AB$ — гипотенуза (накло́нная), ее длина равна $\sqrt{18}$ см.
- $BH$ — катет, который нам нужно найти (расстояние до плоскости).
- $\angle BAH$ — угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $AH$. По определению, это и есть угол между прямой и плоскостью, то есть $\angle BAH = 45^\circ$.
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$
Выразим из этой формулы искомое расстояние $BH$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$
Подставим известные значения. Упростим длину наклонной: $AB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см. Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$BH = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 109 расположенного на странице 79 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №109 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.