Номер 116, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $E$ так, что $AE : A_1E = 4 : 3$. Найдите угол между прямой $C_1E$ и плоскостью $BAA_1$, если $AD = 12$ см, $AB = 2\sqrt{3}$ см, $AA_1 = 14$ см.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол через $ \alpha $. В данной задаче требуется найти угол между прямой $C_1E$ и плоскостью $BAA_1$ (которая является плоскостью грани $ABB_1A_1$).

Сначала построим проекцию прямой $C_1E$ на плоскость $BAA_1$. Для этого спроецируем её концы — точки $C_1$ и $E$. Точка $E$ лежит на ребре $AA_1$, которое принадлежит плоскости $BAA_1$, поэтому проекцией точки $E$ на эту плоскость является сама точка $E$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Следовательно, точка $B_1$ является ортогональной проекцией точки $C_1$ на плоскость $BAA_1$.

Таким образом, прямая $B_1E$ является проекцией прямой $C_1E$ на плоскость $BAA_1$. Искомый угол $ \alpha $ — это угол между наклонной $C_1E$ и её проекцией $B_1E$, то есть $ \alpha = \angle C_1EB_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1EB_1$. Поскольку $C_1B_1$ — перпендикуляр к плоскости $BAA_1$, а прямая $B_1E$ лежит в этой плоскости, то $C_1B_1 \perp B_1E$. Это означает, что треугольник $\triangle C_1EB_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B_1$.

Для нахождения угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1EB_1$ воспользуемся определением тангенса: $ \tan(\alpha) = \frac{C_1B_1}{B_1E} $. Найдем длины катетов.

Длина катета $C_1B_1$ равна длине ребра $AD$, так как это прямоугольный параллелепипед. По условию $AD = 12$ см, следовательно, $C_1B_1 = 12$ см.

Длину катета $B_1E$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1E$, который лежит в плоскости грани $BAA_1$ (угол $ \angle B_1A_1E = 90^\circ $). По теореме Пифагора $ B_1E = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1E^2} $. Для этого найдем длины катетов $A_1B_1$ и $A_1E$. Длина $A_1B_1 = AB = 2\sqrt{3}$ см. Длину $A_1E$ найдем из условия, что точка $E$ делит ребро $AA_1$ в отношении $AE : A_1E = 4 : 3$. Длина всего ребра $AA_1 = 14$ см. Таким образом, $AA_1$ состоит из $4+3=7$ частей. Длина одной части равна $14 / 7 = 2$ см. Тогда длина отрезка $A_1E$, состоящего из 3 частей, равна $3 \cdot 2 = 6$ см. Теперь можем вычислить $B_1E$:

$ B_1E = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

Теперь мы можем найти тангенс искомого угла $ \alpha $, зная длины обоих катетов в треугольнике $\triangle C_1EB_1$:

$ \tan(\alpha) = \tan(\angle C_1EB_1) = \frac{C_1B_1}{B_1E} = \frac{12}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, искомый угол $ \alpha = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$.