Номер 123, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Через сторону $BC$ треугольника $ABC$ проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $60^\circ$. Найдите расстояние от вершины $A$ до этой плоскости, если $AB = BC = 13 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$.

Пусть $\alpha$ — это плоскость, проходящая через сторону $BC$ треугольника $ABC$. Расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $AK$.

Угол между плоскостью треугольника $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$. Для построения линейного угла этого двугранного угла проведем в плоскости $(ABC)$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Таким образом, $AH \perp BC$.

Рассмотрим треугольник $AKH$. В нем:
1. $AK \perp \alpha$ по определению расстояния от точки до плоскости, а значит $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AK \perp KH$ и $\triangle AKH$ — прямоугольный.
2. $AH$ — наклонная к плоскости $\alpha$, $KH$ — ее проекция на эту плоскость.
3. Угол $\angle AHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $\alpha$, так как $AH \perp BC$ и (по теореме о трех перпендикулярах) $KH \perp BC$. По условию, $\angle AHK = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AKH$ находим искомое расстояние $AK$:
$AK = AH \cdot \sin(\angle AHK) = AH \cdot \sin(60^\circ)$.

Теперь найдем длину высоты $AH$ в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и $AC = 10$ см. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона.
Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.
Площадь $S$ равна:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{144 \cdot 25} = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. В нашем случае:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Подставим известные значения:
$60 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot AH$.
Отсюда выразим $AH$:
$AH = \frac{60 \cdot 2}{13} = \frac{120}{13}$ см.

Наконец, вычисляем расстояние $AK$:
$AK = AH \cdot \sin(60^\circ) = \frac{120}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60\sqrt{3}}{13}$ см.

Ответ: $\frac{60\sqrt{3}}{13}$ см.