Номер 122, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. На рисунке 95 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $A_1 AD$ и $B_1 BD$.

Рис. 95

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения через одну её точку.

1. Найдём линию пересечения плоскостей.

Первая плоскость проходит через точки $A_1, A, D$. Так как точки $A, D, D_1, A_1$ лежат в одной плоскости (грань куба), то плоскость $A_1AD$ совпадает с плоскостью грани $ADD_1A_1$.

Вторая плоскость проходит через точки $B_1, B, D$. Эта плоскость является диагональным сечением куба $BDD_1B_1$.

Обе плоскости, $ADD_1A_1$ и $BDD_1B_1$, содержат ребро $DD_1$. Следовательно, прямая $DD_1$ является линией их пересечения.

2. Построим линейный угол двугранного угла.

Выберем на линии пересечения $DD_1$ точку $D_1$. Проведём через неё в каждой из плоскостей прямую, перпендикулярную $DD_1$.

В плоскости грани $ADD_1A_1$ (которая является квадратом) ребро $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $DD_1$. То есть, $A_1D_1 \perp DD_1$.

Ребро куба $DD_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Значит, $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D_1$. Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ (а также в плоскости сечения $BDD_1B_1$) и проходит через точку $D_1$, следовательно, $B_1D_1 \perp DD_1$.

Таким образом, угол между плоскостями $A_1AD$ и $B_1BD$ равен углу между прямыми $A_1D_1$ и $B_1D_1$, то есть искомый угол — это $\angle A_1D_1B_1$.

3. Вычислим величину угла.

Угол $\angle A_1D_1B_1$ лежит в плоскости верхнего основания куба $A_1B_1C_1D_1$, которое является квадратом. В этом квадрате отрезок $A_1D_1$ является стороной, а отрезок $B_1D_1$ — диагональю, проведённой из той же вершины $D_1$.

Диагональ квадрата делит его угол пополам. Угол квадрата $\angle A_1D_1C_1$ равен $90^\circ$. Следовательно:

$\angle A_1D_1B_1 = \frac{1}{2} \angle A_1D_1C_1 = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Другой способ — рассмотреть прямоугольный треугольник $\triangle A_1B_1D_1$ (прямой угол при вершине $A_1$). Так как это куб, то катеты $A_1B_1$ и $A_1D_1$ равны. Значит, треугольник $\triangle A_1B_1D_1$ является равнобедренным, и его острые углы равны по $45^\circ$. Таким образом, $\angle A_1D_1B_1 = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.