Номер 126, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Сторона $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$ равно 1 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2$.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, сторона $BC$ которого лежит в плоскости $\alpha$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $ABC$, и $AM \perp BC$.

Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — это расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$, и по условию $AH = 1$ см. Отрезок $HM$ — это проекция высоты $AM$ на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом $\angle AMH$. Обозначим этот угол $\phi$.

Треугольник $AHM$ является прямоугольным, так как $AH \perp \alpha$, а значит, $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $HM$. В этом треугольнике катет $AH$ противолежит углу $\phi$, а $AM$ является гипотенузой. Следовательно, $\sin \phi = \frac{AH}{AM}$.

Для нахождения угла $\phi$ нам нужно найти длину высоты $AM$. Мы можем найти ее, зная площадь треугольника $ABC$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ выражается формулой $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. По условию, $S_{ABC} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $a^2$:

$\frac{a^2}{4} = \frac{4}{3} \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$

Отсюда сторона треугольника $a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Высота $AM$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим найденное значение $a$:

$AM = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем найти синус угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике $AHM$:

$\sin \phi = \frac{AH}{AM} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.